En sevärd dokumentär från BBC Horizon om oändlighetsbegreppet:

Människor har nog svårt att greppa sådana här fenomen. Samma med sannolikhet.

Tack för tipset. Ska ses.

Matematiken behandlar som jag ser det vanligen bestämda värden och relationer. När man då använder oändligheten i beräkningar så blir det lätt knasigt eftersom oändligheten inte har ett bestämt värde och alltid måste vara detsamma relativt allt annat. Det vill säga oändligt stort vad man än jämför med, eftersom det ju är själva definitionen av oändligheten. Paradoxerna uppkommer när man inte tar hänsyn till detta utan använder sig utav det som ett tal likt andra. Det är ju t ex rent felaktigt som jag ser det att ställa upp oändlighet minus oändlighet (vid 18:28) eftersom man då räknar på två tal(?) utan bestämda värden. Detta kan omöjligen låta sig göras på ett meningsfullt sätt, liksom man inte kan jämföra tal med varandra om dom inte har bestämda värden.

Jag slutade se vid 30 minuter ungefär eftersom jag inte är så intresserad utav matematik och bara tycker att det blir dumt när man börjar räkna på oändligheten och kommer fram till att det skulle finnas flera olika oändlighetstal, d v s man ger dessa tal olika värden relativt varandra vilket då skulle vara två grundläggande fel man gör (mot den ursprungliga betydelsen av oändlighet) enligt mitt sätt att se det. Man kan naturligtvis se det på andra sätt och det respekterar jag förstås. Det kanske fyller en funktion att använda oändligheten som ett matematiskt tal, det tränar väl tankeförmågan om inte annat. Men jag tror också att det skapar onödig förvirring.

Micke skrev:Det är ju t ex rent felaktigt som jag ser det att ställa upp oändlighet minus oändlighet (vid 18:28) eftersom man då räknar på två tal(?) utan bestämda värden. Detta kan omöjligen låta sig göras på ett meningsfullt sätt, liksom man inte kan jämföra tal med varandra om dom inte har bestämda värden.

Det var ju det dom konstaterade i programmet, att oändligheten minus oändligheten är meningslöst.

Det är även odefinierat i den utökade reella tallinjen där man har två oändlighetspunkter på tallinjen. Dock så är -(-oändligheten)=oändligheten fast där ska man nog inte fundera på vad det egentligen innebär mer än att två minus blir plus.

För att komma till en större oändlighet måste man ta oändligheten upphöjt till oändligheten.

Aleph-0^aleph-0=aleph-1. Här vet jag inte om exponenten måste vara en lika stor oändlighet för att resultatet ska bli en större oändlighet. Aleph-1^aleph-1=aleph-2 men frågan är om aleph-1^aleph-0=aleph-1?

Kan man tänka sig större oändligheter än det som kan skrivas som aleph-(ändligt tal)? Aleph-(aleph-0)? Kanske en notation med nivåer av “alephar“ i varann? Så att aleph nivå 3 är aleph-(aleph-(aleph-0))? Nu är väl iofs alephtalen inte samma sak som oändligheten på tallinjen...

Moggy skrev:Det var ju det dom konstaterade i programmet, att oändligheten minus oändligheten är meningslöst.

Ok, men likväl skrev dom ut att oändlighet minus oändlighet skulle vara lika med oändlighet. Det borde vara lika med "error" som jag ser det.

För att komma till en större oändlighet måste man ta oändligheten upphöjt till oändligheten.

Så fort man öppnar dörren för en större oändlighet så har man ju begränsat den ursprungliga oändligheten. Då det fanns något som var större så kan den inte ha varit oändligt stor.

Jag börjar undra om det här med oändlighet och matematik verkligen är en lyckad kombination.

Moggy skrev:Aleph-0^aleph-0=aleph-1.

Normalt säger man att C har kardinaliteten 2^Aleph_0.
Kontiniumet (hur man nu ska skriva "continuum" på svenska) C är isomorft med de reella talen R.

Kontiniumhypotesen är ekvivalent med att 2^Aleph_0 = Aleph_1, det vill säga att det inte finns kategorier av mängder med kardinalitet större än N men mindre än R. Detta är oavgörbart inom Zermelo-Frenkels mängdteori, vilket Cohen visade nån gång på 1960-talet.

Micke skrev:Så fort man öppnar dörren för en större oändlighet så har man ju begränsat den ursprungliga oändligheten. Då det fanns något som var större så kan den inte ha varit oändligt stor.

Det här med oändligheter är inte helt lättsmält i början, men låt oss ta ett enkelt exempel. Om vi börjar med de positiva heltalen så går det att hitta en systematisk metod att räkna upp dem, eftersom de har en naturlig totalordning. Däremot blir vi förstås aldrig färdiga med uppräkningen eftersom de är oändligt många. Om vi sedan tar de reella talen så går det inte att hitta någon sådan systematisk metod att räkna upp dem. Inte bara så att ingen ännu har kommit på en metod, utan Cantors diagonaliseringsbevis bevisar att det inte kan finnas någon sådan metod. De positiva naturliga talen är alltså en mängd som är oändlig, men uppräkningsbar, medan de reella talen är en mängd som inte ens är uppräkningsbar.

Micke skrev:Jag börjar undra om det här med oändlighet och matematik verkligen är en lyckad kombination.

Absolut. Oändligheter är oerhört viktiga i matematiken. Men för den som vill slippa det så finns förstås den konstruktiva matematiken som i grunden bygger på intuitionistisk logik. Där tillåter man bara bevis som är konstruktiva och har imponerande nog lyckats återuppbygga i stort sett hela den grundläggande analysen på det sättet. Man har t.o.m. en slags reella tal, fast de är definierade på annat sätt och inte riktigt samma sak som de vanliga.

Oändlighet är en cirkulär företéelse. Således är den egentligen inte oändlig. Efter ett varv är det en upprepning.

Kom på detta nu precis. Fiffigt.

Kvasir skrev:Det här med oändligheter är inte helt lättsmält i början, men låt oss ta ett enkelt exempel. Om vi börjar med de positiva heltalen så går det att hitta en systematisk metod att räkna upp dem, eftersom de har en naturlig totalordning. Däremot blir vi förstås aldrig färdiga med uppräkningen eftersom de är oändligt många. Om vi sedan tar de reella talen så går det inte att hitta någon sådan systematisk metod att räkna upp dem. Inte bara så att ingen ännu har kommit på en metod, utan Cantors diagonaliseringsbevis bevisar att det inte kan finnas någon sådan metod. De positiva naturliga talen är alltså en mängd som är oändlig, men uppräkningsbar, medan de reella talen är en mängd som inte ens är uppräkningsbar.

Jag ska fundera lite på detta. Jag vänder mig för stunden lite emot det här med att 'uppräkningsbarheten' skulle vara en avgörande faktor som skulle skilja de båda oändliga talserierna åt, för hur länge man än skulle räkna så skulle man ju fortfarande vara oändligt långt från oändligheten. (Hur det blir om man skulle räkna oändligt länge vill jag inte tänka på). Men jag har nått en gräns nu där det känns ignorant att kritisera mer om jag inte sätter mig in i det bättre.

Fraktal skrev:

Nån som vet var filmsnuttarna vid 41:24-41:34 och 41:37-41:46 kommer ifrån?

Oändligheten är blå, närmare bestämt gåsäggsblå, läste jag just igår!
Om man nu ska lita på vad Döden säger i "Levande musik" som utspelar sig i Terry Pratchetts Skivvärld!