Undrar om man skulle kunna uttrycka sig i vardagen också med matematik

Det sägs ju att matematik är naturens språk.

lillmupp skrev:

Kimmelie skrev:Det beror väl på om den är analog eller digital.
Analog cirkel = inga hörn
Digital cirkel = oändligt många hörn

Förr användes en typ av skärmar som ritade geometriska figurer genom att styra elektronstrålen, ungefär som att rita med en penna. (Kan ju motsvara ditt begrepp Analog cirkel). Vi kan ju leka med tankern att vi skapat en analog krets som styr strålen så att vi inte begränsas av ett antal bitar.
Men denna beräkning blir inte perfekt. Den begränsas av brusfenomen i komponenterna.
Och även analoga skärmar det ger bilder som är approximationer. Kornstorleken i skärmens fosfor ger en begränsning. Om vi bortser från det så har i vart fall de atomer som används för flourecensen en storlek så cirkeln blir taggig i alla fall (även om ögat inte förmår uppfatta det).

Näe, det där är ingen "analog cirkel". Allting som har passerat genom en dator är "digitalt", oavsett kvalitet och upplösning. Jag tänkte snarare på nånting som finns i naturen - om det nu finns nånting exakt cirkelrunt alltså...

Kimmelie skrev:

lillmupp skrev:

Kimmelie skrev:Det beror väl på om den är analog eller digital.
Analog cirkel = inga hörn
Digital cirkel = oändligt många hörn

Förr användes en typ av skärmar som ritade geometriska figurer genom att styra elektronstrålen, ungefär som att rita med en penna. (Kan ju motsvara ditt begrepp Analog cirkel). Vi kan ju leka med tankern att vi skapat en analog krets som styr strålen så att vi inte begränsas av ett antal bitar.
Men denna beräkning blir inte perfekt. Den begränsas av brusfenomen i komponenterna.
Och även analoga skärmar det ger bilder som är approximationer. Kornstorleken i skärmens fosfor ger en begränsning. Om vi bortser från det så har i vart fall de atomer som används för flourecensen en storlek så cirkeln blir taggig i alla fall (även om ögat inte förmår uppfatta det).

Näe, det där är ingen "analog cirkel". Allting som har passerat genom en dator är "digitalt", oavsett kvalitet och upplösning. Jag tänkte snarare på nånting som finns i naturen - om det nu finns nånting exakt cirkelrunt alltså...

Matematiska objekt, som exempelvis cirkel, existerar endast "i" matematiken.

Cirkeln utgörs av mängden av de punkter (i planet) som har samma avstånd till en given (fix) punkt (i planet).
En punkt är ett objekt som inte har någon utsträckning i rummet (dimensionen 0).
Eftersom en punkt därmed är "osynlig" med "våra ögon" spelar det ingen roll hur många punkter vi samlar ihop (på samma punkt ) vi ser ingenting ändå.
Därmed kan vi inte heller se cirkeln - trots att den består av ett obegränsat antal punkter.

Man kan definiera cirkeln (i planet) som de punkter x och y (Cartesiskt koordinatsystem) som uppfyller
x^2 + y^2 = r^2, cirkel med radien r och medelpunkt i origo (x, y) = (0, 0)
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, cirkel med radien r och medelpunkt i (x, y) = (a, b)
Det finns flera sätt att definiera en cirkel.

Nu sätter jag punkt

Fraktal skrev:En punkt är ett objekt som inte har någon utsträckning i rummet (dimensionen 0).
Eftersom en punkt därmed är "osynlig" med "våra ögon" spelar det ingen roll hur många punkter vi samlar ihop (på samma punkt :shock: ) vi ser ingenting ändå.

Byt ut ordet punkt mot elementarpartikel så inser du förhoppningsvis varför ditt resonemang är felaktigt.

osäker skrev:

Fraktal skrev:En punkt är ett objekt som inte har någon utsträckning i rummet (dimensionen 0).
Eftersom en punkt därmed är "osynlig" med "våra ögon" spelar det ingen roll hur många punkter vi samlar ihop (på samma punkt ) vi ser ingenting ändå.

Byt ut ordet punkt mot elementarpartikel så inser du förhoppningsvis varför ditt resonemang är felaktigt.

Eller snarare, om två punkter har exakt samma koordinat så är de samma punkt.

(Om två elementarpartiklar har samma koordinat så är de antingen samma partikel, eller så får vi en expolsion eller nå't. )

Kvasir skrev:Om två elementarpartiklar har samma koordinat så är de antingen samma partikel [...]

Fråga Wolfgang Pauli och Heisenberg.

nallen skrev:

Kvasir skrev:Om två elementarpartiklar har samma koordinat så är de antingen samma partikel [...]

Fråga Wolfgang Pauli och Heisenberg.

Hm, glömde bort kvanteffekter i en hast. Å andra sidan var den fysikaliska utvikningen mest skämtsamt menad i sammanhanget.

osäker skrev:

Fraktal skrev:En punkt är ett objekt som inte har någon utsträckning i rummet (dimensionen 0).
Eftersom en punkt därmed är "osynlig" med "våra ögon" spelar det ingen roll hur många punkter vi samlar ihop (på samma punkt ) vi ser ingenting ändå.

Byt ut ordet punkt mot elementarpartikel så inser du förhoppningsvis varför ditt resonemang är felaktigt.

I en perfekt (matematisk) cirkel kan man inte göra det. Jag finner inga som helst fel i Fraktals beskrivning där grunden är att en cirkel är definierad som ett rent matematiskt begrepp.

Utanför matematiken så existerar det inga perfekta cirklar, det finns alltid någon form av avvikelse som gör att ditt resonemang kan komma i fråga.

Miche skrev:I en perfekt (matematisk) cirkel kan man inte göra det. Jag finner inga som helst fel i Fraktals beskrivning där grunden är att en cirkel är definierad som ett rent matematiskt begrepp.

Utanför matematiken så existerar det inga perfekta cirklar, det finns alltid någon form av avvikelse som gör att ditt resonemang kan komma i fråga.

Felet är att han gör antaganden om hur seendet fungerar som saknar grund såväl matematiskt som empiriskt. Det finns ingenting inom matematiken som säger att en punkt är osynlig (synlighet är inte ett väldefinierat matematiskt begrepp), och utanför matematiken vet vi att allt vi ser är uppbyggt av punktformiga partiklar.

Fyra coola konstruktioner av en cirkel:
1. En linje är en degenererad cirkel. Rita en linje längs (hela) ekvatorn på en sfär och du har en cirkel utan hörn.
2. Ta "gränsvärdet" mot oändligheten av regelbundna polygoner där den första är en triangel, den andra en fyrkant osv. Du får en cirkel med oändligt många hörn.
3. Ta unionen av hörnen på alla polygoner där hörnen är på avståndet 1 från origo. Hur många hörn får man nu? Det är kanske inte helt lätt att svara på.
4. Ta "gränsvärdet" mot oändligheten av regelbundna polygram (stjärnor) (av den spetsigaste varianten) där den första har fem spetsar, den andra har 7 spetsar osv. Detta blir inte en cirkel utan en skiva med arean 0!

PS. Snygg Koch-flinga Fraktal.

osäker skrev:

Fraktal skrev:En punkt är ett objekt som inte har någon utsträckning i rummet (dimensionen 0).
Eftersom en punkt därmed är "osynlig" med "våra ögon" spelar det ingen roll hur många punkter vi samlar ihop (på samma punkt ) vi ser ingenting ändå.

Byt ut ordet punkt mot elementarpartikel så inser du förhoppningsvis varför ditt resonemang är felaktigt.

Elementarpartiklarna har ju krafter som breder ut sig i rummet/ som verkar över avstånd. Annars hade vi ju inte kunnat notera något överhuvudtaget. Allt vi ser är resultatet utav krafters verkan. Det går alltså inte att byta ut "punkt" (som är utan krafter) mot "elementarpartikel" och förvänta sig samma resultat.

(Men själv tror jag inte på elementarpartiklar, utan tror att alla partiklar är ansamlingar av krafter och att det alltid går att zooma in på en partikel och finna nya partiklar/kraftansamlingar i det oändliga. Men det är en annan diskussion.)

Analogi:
Det går att approximera en rät linje med en sicksacklinje med säg tio hörn. Approximationen kan göras godtyckligt noggrann genom att hörnen flyttas godtyckligt nära den räta linjen. Innebär det att en rät linje har exakt tio hörn? Naturligtvis inte. En rät linje har inga hörn och det har inte en cirkel heller.

Ett annat sätt att se det är att frågan kräver en tydlig definition av begreppet hörn för att vara meningsfull. Nu känner jag mig inte redo att formulera en sådan definition, men som jag ser det borde det ingå att ett hörn är en punkt på en kurva där kurvan inte är deriverbar. Även detta leder till konstaterandet att en cirkel saknar hörn.

Mats, det är inte helt sant. Konstruktion av ett objekt har i vissa sammanhang avgörande betydelse för deriverbarhet. Du kan approximera funktionen f(x)=0 med g(x)=g_oändlighet(x) där g_n(x)=x, 0≤x<1/2^n
g_n(x)=1/2^n-x, 1/2^n≤x<1/2^(n-1) och g_n(x)=g_n(x+1/2^(n-1)). g(x) är konstant 0 och inte deriverbar någonstans. Man kan säga att g(x) i någon mening är i samma kategori (dock inte menat matematisk kategori) som weierstrass funktionen.

Analogi till ovanstående: Integralen från 0 till s av funktionen 0 är noll. Vi låter s växa mot oändligheten och ser att värdet på den generaliserade integralen är 0. Integralen av funktionen f(x)=1/s från 0 till s är 1. Vi låter s gå mot oändligheten och ser att den generaliserade integralen av funktionen 0 från 0 till oändligheten är 1. Beroende på konstruktion får integranden olika värde. I praktiken har detta betydelse då man i olika problem stöter på olika konstruktioner av samma objekt och att det gäller att inte blanda ihop dessa. Det gäller förstås bara när man i någon mening sysslar med oändligheter vilket man på sätt och vis kan sägas göra när man sysslar med cirklar som demonstraras av de konstruktioner man använder för att beskriva en cirkel.

Kimmelie skrev:

lillmupp skrev:

Kimmelie skrev:Det beror väl på om den är analog eller digital.
Analog cirkel = inga hörn
Digital cirkel = oändligt många hörn

Förr användes en typ av skärmar som ritade geometriska figurer genom att styra elektronstrålen, ungefär som att rita med en penna. (Kan ju motsvara ditt begrepp Analog cirkel). Vi kan ju leka med tankern att vi skapat en analog krets som styr strålen så att vi inte begränsas av ett antal bitar.
Men denna beräkning blir inte perfekt. Den begränsas av brusfenomen i komponenterna.
Och även analoga skärmar det ger bilder som är approximationer. Kornstorleken i skärmens fosfor ger en begränsning. Om vi bortser från det så har i vart fall de atomer som används för flourecensen en storlek så cirkeln blir taggig i alla fall (även om ögat inte förmår uppfatta det).

Näe, det där är ingen "analog cirkel". Allting som har passerat genom en dator är "digitalt", oavsett kvalitet och upplösning. Jag tänkte snarare på nånting som finns i naturen - om det nu finns nånting exakt cirkelrunt alltså...

Mja, det jag beskriver har inte passerat en digital konstruktion..
Och ändå uppnår vi inte perfektionen, av den anledning jag beskriver.

Krake:
Kan du utveckla varför g(x) inte är deriverbar?
Om g(x) = 0 för alla x borde väl g(x+ε) vara lika med 0 för alla x och alla ε? Och då borde väl
g(x+ε) - g(x) också vara lika med 0 för alla x och alla ε? Och då borde (g(x+ε) - g(x))/ε vara lika med 0/ε som har gränsvärde 0 när ε går mot 0.

Ditt andra exempel verkar vara av typen "noll gånger oändligheten" och att det kan bli vad som helst känner jag till, men jag ser inte analogin till en cirkel. Menar du att omkretsen av en cirkel inte alltid är 2πr utan är beroende av hur cirkeln är konstruerad?

Mats har helt rätt att en konstantfunktion är deriverbar. Den har derivatan 0 i alla punkter.

osäker skrev:

Miche skrev:I en perfekt (matematisk) cirkel kan man inte göra det. Jag finner inga som helst fel i Fraktals beskrivning där grunden är att en cirkel är definierad som ett rent matematiskt begrepp.

Utanför matematiken så existerar det inga perfekta cirklar, det finns alltid någon form av avvikelse som gör att ditt resonemang kan komma i fråga.

Felet är att han gör antaganden om hur seendet fungerar som saknar grund såväl matematiskt som empiriskt. Det finns ingenting inom matematiken som säger att en punkt är osynlig (synlighet är inte ett väldefinierat matematiskt begrepp), och utanför matematiken vet vi att allt vi ser är uppbyggt av punktformiga partiklar.

Jag använder "kontentan"/"essensen" av den euklidiska definitionen av objektet "punkt" - punkten har ett läge i planet men saknar utsträckning ("oändligt liten"). Där har jag stöd i matematikens definition (Euklidisk geometri),

Visst gör jag ett sedan ett antagade om det mänskliga seendet i den bemärkelsen att ett objekt vilket saknar utsträckning inte går att observera.
Jag har under alltid såväl under utbildning som yrkesverksamheten ännu inte ned egna ögon fått möjlighet att titta på det "matematiska objektet punkt".
Enligt nuvarande empiri i denna fråga gäller väl ändå följande - att osynliga saker inte syns?

Sedan kan man fundera vidare på var någonstans man ska leta för att få chans att med egna ögon - få se en "matematisk punkt".
Nu talar jag inte om de punkter vi ritar på ett papper, nej det gäller den "matematiska punkten".

Miche skrev:

osäker skrev:

Fraktal skrev:En punkt är ett objekt som inte har någon utsträckning i rummet (dimensionen 0).
Eftersom en punkt därmed är "osynlig" med "våra ögon" spelar det ingen roll hur många punkter vi samlar ihop (på samma punkt ) vi ser ingenting ändå.

Byt ut ordet punkt mot elementarpartikel så inser du förhoppningsvis varför ditt resonemang är felaktigt.

I en perfekt (matematisk) cirkel kan man inte göra det. Jag finner inga som helst fel i Fraktals beskrivning där grunden är att en cirkel är definierad som ett rent matematiskt begrepp.

Utanför matematiken så existerar det inga perfekta cirklar, det finns alltid någon form av avvikelse som gör att ditt resonemang kan komma i fråga.

Varför ska punkt (ett matematiskt objekt) bytas ut mot elementarparikel en (ofta) fysikst detekterbar partikel med olika egenskaper?

I ärlighetens namn verkar det ytterst "suspekt" att byta ut matematiska definitioner mot de facto reella/"existerande" partiklar.

Slutligen kan vilken elementarpartikel som helst komma i fråga för "utbyte" eller ska krav ställas på egenskaper på vilka elementarpartiklar som är lämpliga?

Slutligen förstår jag inte hur det ordutbytet skulle göra felet i mitt resonemang uppenbart.
Det vore intressant att ta del av dina tankar där.
Om du känner för det vore det trevligt med ett inlägg!

Hej då!

@Fraktal: Håller med dig. Förstår inte osäkers resonemang i denna fråga.

De flesta av de fenomen vi kallar elementarpartiklar har en utsträckning i rummet. Denna utsträckning kan ses som virtuell om vi betraktar "partikeln" som en vågfunktion med ett energiinnehåll. "Utsträckning i rummet" blir då en sannolikhet att en annan partikel kan befinna sig i samma "utrymme". För vissa "elementarpartiklar" är denna sannolikhet mycket, mycket liten, t.ex. neutroner, protoner, elektroner.
En "stor" ansamling av sådana partiklar får snabbt effekten att fotoner kommer att kunna "träffa" denna ansamling och "studsa" mot den, varvid observerbarhet uppstår.
(Tar vi atomer så behöver vi inte ens ha många "elementarpartiklar" i ansamlingen, fotoner studsar bra ändå, trots att atomer kan ses som mest bestående av tomrum )

Eftersom matematiska punkter inte har en utsträckning i rummet eller någon annan egenskap som kan likställas med en sådan, kan inte ordbytet meningsfullt ske så som osäker föreslår.

Fraktal skrev:Visst gör jag ett sedan ett antagade om det mänskliga seendet i den bemärkelsen att ett objekt vilket saknar utsträckning inte går att observera.

Detta antagande är som sagt falskt, eftersom all syn innebär observation av objekt som saknar utsträckning.

lillmupp skrev:@Fraktal: Håller med dig. Förstår inte osäkers resonemang i denna fråga.

De flesta av de fenomen vi kallar elementarpartiklar har en utsträckning i rummet. Denna utsträckning kan ses som virtuell om vi betraktar "partikeln" som en vågfunktion med ett energiinnehåll. "Utsträckning i rummet" blir då en sannolikhet att en annan partikel kan befinna sig i samma "utrymme". För vissa "elementarpartiklar" är denna sannolikhet mycket, mycket liten, t.ex. neutroner, protoner, elektroner.

Neutroner och protoner är inte elementarpartiklar, utan uppbyggda av kvarkar. Att elementarpartiklar är punktformiga är allmänt vedertaget (även om det finns en del stränghypotetiker och liknande som tror annorlunda).

osäker skrev:

lillmupp skrev:@Fraktal: Håller med dig. Förstår inte osäkers resonemang i denna fråga.

De flesta av de fenomen vi kallar elementarpartiklar har en utsträckning i rummet. Denna utsträckning kan ses som virtuell om vi betraktar "partikeln" som en vågfunktion med ett energiinnehåll. "Utsträckning i rummet" blir då en sannolikhet att en annan partikel kan befinna sig i samma "utrymme". För vissa "elementarpartiklar" är denna sannolikhet mycket, mycket liten, t.ex. neutroner, protoner, elektroner.

Neutroner och protoner är inte elementarpartiklar, utan uppbyggda av kvarkar. Att elementarpartiklar är punktformiga är allmänt vedertaget (även om det finns en del stränghypotetiker och liknande som tror annorlunda).

Fair enough om elemntarpartiklar. Ska inte alltid lita på sitt minne

MEN det hjälper inte ditt resonemang eftersom kvarkar inte är frisvävande utan alltid ingår i t.ex. neutroner etc.
Och nej, det är inte "allmänt vedertaget" att elementarpartiklar är punktformiga. De modelleras möjligen vanligen så, men det beror, som du berör lite i din kommentar, på att just modellerandet inte är bättre för närvarande.

osäker skrev:

Fraktal skrev:Visst gör jag ett sedan ett antagade om det mänskliga seendet i den bemärkelsen att ett objekt vilket saknar utsträckning inte går att observera.

Detta antagande är som sagt falskt, eftersom all syn innebär observation av objekt som saknar utsträckning.

Tekniskt sett har du ju rätt men inte baserat på det du skrivit

Vi ser ju egentligen ingenting utan vi skapar oss en föreställning om vår omvärld baserat på de excitationer som åstadkommes i våra nerver av att fotoner träffar våra ljuskänsliga celler i ögonen.
(Vi kallar sedan detta för att vi "ser" men det är ju då att betrakta som en oprecis beskrivning. Om vi nu ska vara sådana.. )

lillmupp skrev:MEN det hjälper inte ditt resonemang eftersom kvarkar inte är frisvävande utan alltid ingår i t.ex. neutroner etc.

Liksom punkter som inte är frisvävande, utan ingår i en cirkel?

Och nej, det är inte "allmänt vedertaget" att elementarpartiklar är punktformiga. De modelleras möjligen vanligen så, men det beror, som du berör lite i din kommentar, på att just modellerandet inte är bättre för närvarande.

Att skilja på att vara och att modelleras låter för mig som metafysiskt flum.