Hej!

Hur många hörn har en cirkel?

Som jag ser saken finns det två svar på frågan:
1. Inga hörn (0 stycken).
2. Oändligt många hörn.

Är något av svaren "mer" riktigt än det andra?

Inte för att denna insikt underlättar tillvaron på något sätt - men man kan väl unna sig att fundera ändå!

En cirkel eller en sfär är ett abstrakt koncept. Om den så är korrekt ner till atomnivå så består den ändå av ojämna bitar med en precis mängd hörn. Min tro i alla fall. Du kanske sökte ett annat svar men för mig vore det som att svara på frågan vilken färg är vackrast, poänglöst.

Är inte hörn också ett abstrakt koncept?

Hehe ja sitter allt ihop eller är allt uppdelat, denna ständiga fråga. Min upplevelse är att det finns hörn ^^

Fraktal skrev:Hej!

Hur många hörn har en cirkel?

Som jag ser saken finns det två svar på frågan:
1. Inga hörn (0 stycken).
2. Oändligt många hörn.

Är något av svaren "mer" riktigt än det andra?

Inte för att denna insikt underlättar tillvaron på något sätt - men man kan väl unna sig att fundera ändå!

Tittar vi på definitionen av cirkel så är detta (för ett plan) de punkter som alla ligger på ett visst givet avstånd från en centrumpunkt. Detta avstånd kallar vi radie. Punkterna runt centrum på detta avstånd är alla matematiska punkter och har därför ingen storlek. Det går då åt oändligt många punkter för att komma runt ett varv.

Vi kan börja med att säga att en sådan cirkel har 0 hörn!
Men vi kan faktiskt säga att den har oändligt många hörn också, på samma gång!
Det utgör ingen praktiskt skillnad men i ett resonemang kan det vara praktiskt att använda den ena eller den andra synen på det.

Mitt resonemang för att komma fram till detta är enkelt.
Titta på en liten bit av cirkelns rand. Den är rundad. Titta på en bit av detta segment. Den är mindre rundat men fortfarande rundad. Titta närmare och närmare. Till slut kommer rundningen att vara oändligt liten och den bit du tittar på är oändligt nära en rät linje. På en rät linje hittar du inga hörn.
Alltså 0 hörn.

Å andra sidan, titta på en n-hörning. Säg en liksidig triangel med någon längd på sidorna. Lägg nu till ett hörn på en av sidorna och justera avståndet mellan hörnen så att omkretsen är lika och ändra vinklarna i varje hörn så att de är lika. Vinklarna mellan hörnen blev större och längen på sidorna blev mindre. Fortsätt att lägga till hörn, justera sidlängderna och vinklarna.
I denna process, låt oss titta på ett av de ursprungliga hörnen. I detta hörn kommer vinkeln att öka för varje nytt hörn på n-hörningen och närma sig 180 grader (den började på 60 grader). Sidorna mellan hörnen blir allt kortare. Till slut kommer vi att ha oändligt många hörn med ett oändligt litet avstånd mellan varje hörn och en vinkel som är oändligt nära 180 grader vilket är en oändligt nära approximation av en rät linje.
Alltså oändligt många hörn.

Så mötas de två och lyckan är fullständig.

Inget hörn är det enda korrekta.
Skilj på gränsvärden och (reciproker av) kardinaltal, man kan helt enkelt inte räkna med "oändligheten" på det viset.

Instämmer helt med nallen. En cirkel har inga hörn, eller snarare kanske man ska säga att frågan inte ens är tillämplig. Att man kan approximera en cirkel med en polygon med godtycklig noggrannhet spelar ingen roll. Det är approximationen som har har ett godtyckligt stort antal hörn, inte cirkeln som approximeras.

"A triangle is a good approximation of a circle -for sufficiently large values of three"

nallen skrev:"A triangle is a good approximation of a circle -for sufficiently large values of three"

Klassiker

nallen skrev:Inget hörn är det enda korrekta.
Skilj på gränsvärden och (reciproker av) kardinaltal, man kan helt enkelt inte räkna med "oändligheten" på det viset.

Jodå, nallen, det kan en visst göra! Se ovan
Och hela områden som differential- resp. integralkalkyl och beräkningsbarhet och talteori har oändlighetsbegreppet som centralt byggblock.

Baserat på definitionen av en cirkel så har du ju rätt, det finns inga hörn på en sådan.
Dock är det inte utan värde att förstå när en approximation blir tillräckligt bra för att kunna förenkla t.ex. en kalkyl med hjälp av cirklar. Vid stt stort antal hörn blir corkeln en bra approximation och ett oändligt antal hörn är då ett specialfall.

Det är en djävla skillnad på att prata om gränsvärdet av f(x) då x går mot oändligheten och att behandla "oändligheten" som ett fullt utvecklat begrepp när man talar om f("oändligheten").
Det första är i många fall väldefinierat och nyttigt, det senare bara pseudomatematiskt nonsens.

nallen skrev:Det är en djävla skillnad på att prata om gränsvärdet av f(x) då x går mot oändligheten och att behandla "oändligheten" som ett fullt utvecklat begrepp när man talar om f("oändligheten").
Det första är i många fall väldefinierat och nyttigt, det senare bara pseudomatematiskt nonsens.

Wow! Och du har med sedvanligt trist språkbruk endast visat att du har en del kvar att studera in.

Hej!

Tack för alla svar och intressanta tankar kring frågeställningen.

Att ta del av andras tankar är alltid givande.

Informellt, i en diskussion, ser jag inget fel med att använda ett förenklat språkbruk och t.ex. tala om en liksidig polygon med oändligt många hörn, förutsatt alla är införstådda med att man egentligen talar om gränsvärden. Fast detta sistnämnda är viktigt, att man måste kunna förutsätta att även läsaren/lyssnare förstår vad som åsyftas, vilket inte är självklart i t.ex. en forumtråd.

Det kvarstår fortfarande att det är approximationen av cirkeln som har många (kanske oändligt många) hörn, inte cirkeln själv. Dock borde det nog fungera att alternativt definiera cirkeln som gränsvärdet för en liksidig polygon när antalet hörn går mot oändligheten.

nallen skrev:"A triangle is a good approximation of a circle -for sufficiently large values of three"

Kan man hårddra det med att en cirkel med 2 hörn dvs en finit linje är en "cirkel" ?, eller t.om ett hörn?

plåtmonster skrev:

nallen skrev:"A triangle is a good approximation of a circle -for sufficiently large values of three"

Kan man hårddra det med att en cirkel med 2 hörn dvs en finit linje är en "cirkel" ?, eller t.om ett hörn?

En punkt är ett specialfall av cirkeln, med radie 0. En punkt är också ett specialfall av linjen, med längd 0. En linje med längd 0 är alltså en cirkel, men inte en längre linje. Alla linjer är däremot specialfall av ellipsen.

plåtmonster skrev:

nallen skrev:"A triangle is a good approximation of a circle -for sufficiently large values of three"

Kan man hårddra det med att en cirkel med 2 hörn dvs en finit linje är en "cirkel" ?, eller t.om ett hörn?

Nej.

Eftersom det har blandats in ett visst mått av förväntan om formalismer i denna tråd (som jag uppfattade som lekfullt menad), så ska vi då förstå:

1) Den gängse formella definitionen av en cirkel är x² + y² = r (under antagandet att den har origo i 0 och radien r. I detta ryms inga vinklar eller hörn.
2) En liksidig polygon kan godtyckligt väl *approximera* en cirkel men är och förblir en liksidig polygon, i formell mening.

En rät linje är inte ens en polygon.

Jag tänker att en cirkel kan nås genom en gränsvärdesprocess där antalet hörn i en liksidig n-hörning går mot oändligheten, men att i gränsen flyter hörnen ihop så att cirkeln inte har något hörn.

Kanske man kan definiera cirkeln som ett gränsvärde på något sätt?

Det är inte särskilt besvärligt att visa att en n-hörning blir mer och mer lik en cirkel när n växer och att punktmängderna är identiska om man gör gränsvärdesberäkningen.

Det beror väl på om den är analog eller digital.
Analog cirkel = inga hörn
Digital cirkel = oändligt många hörn

Kimmelie skrev:Det beror väl på om den är analog eller digital.
Analog cirkel = inga hörn
Digital cirkel = oändligt många hörn

I strikt mening kan en cirkel inte ha hörn om vi med "cirkel" menar det som jag skrev ovan (x^2 + y^2 = r).

I datorbaserade, grafiska applikationer har vi alltid en approximation vars korrekthet begränsas av antalet bitar som används i beräkningarna. (Motsvarar väl ditt begrepp "Digital cirkel") Bilden begränsas kanske (eller troligen) dessutom av upplösningen på skärmen.

Förr användes en typ av skärmar som ritade geometriska figurer genom att styra elektronstrålen, ungefär som att rita med en penna. (Kan ju motsvara ditt begrepp Analog cirkel). Vi kan ju leka med tankern att vi skapat en analog krets som styr strålen så att vi inte begränsas av ett antal bitar.
Men denna beräkning blir inte perfekt. Den begränsas av brusfenomen i komponenterna.
Och även analoga skärmar det ger bilder som är approximationer. Kornstorleken i skärmens fosfor ger en begränsning. Om vi bortser från det så har i vart fall de atomer som används för flourecensen en storlek så cirkeln blir taggig i alla fall (även om ögat inte förmår uppfatta det).

Dessa två fall ger förstås inte oändligt många hörn, bara en förskräcklig massa av dem

Matematik är definitioner och relationer inte fysiska uttryck

plåtmonster skrev:Matematik är definitioner och relationer inte fysiska uttryck

Quite so!
Och matematik är det språk vi använder för att modellera fysiska/fysikaliska uttryck.