Jag har inte studerat allt han gjort men de delar jag tittat på är inom additiv talteori särskilt partitions identiteter (pos. heltal) och gaussiska polynom. Han bevisade och postulerade en hel del partitions identiteter.
Den delen av matematiken är fortfarande idag ganska aktuell och det finns tillämpningar bland annat inom fysik.

en liten påpekan!

eftersom det här är ett forum där inte bara mattegenier håller till, så kommer jag ibland att skjuta in små "förklaringar" som inte nödvändigtvis behöver vara EXAKT jättenoga matematiskt superkorrekta. anledningen till detta är att jag gärna vill att även de utan flera års universitetsstudier eller ett personligt brinnande intresse för matematik ska kunna hänga med åtminstone hjälpligt i diskussionen.
av samma anledning kan jag säga saker som för den verkligt insatte kanske anses som självklarheter, men för personer med matematiska kunskaper från gymnasienivå är det inte alls självklart.

vill man att fler ska få upp intresset för hur fantastiskt matte är, kan man inte börja med att ställa upp en trippelintegral med imaginära lösningar.

...då saknas bara nåt konkret att prata om

Jag är för tillfället rätt insnöad på mer allmän vetenskapsfilosofi, så jag har inte så mycket matematiska frågor i huvudet.

Vad sägs om fraktaler? Många med bara gymnasiekunskaper gillar såna. Talteori ("siffermagi") och fraktaler är typiska ämnen för amatörer. Själv är jag mest amatör inom de senare.

2D-grafer över fraktaler brukar som bekant vara väldigt vackra. Jag har just upptäckt att vad jag sysslat med de senaste åren bl.a. kan ses som en oändlig, fraktal gen. AHCG brukar baserna i DNA kallas för. Min fråga för tillfället är ungefär den här:

Hur lägger man A, H, C och G så att ingen del av mönstret någonsin upprepar sig exakt, samtidigt som så stora delar av mönstret som möjligt är så lika varandra som möjligt?

Apropå, nallen, så verkar vi ha en väldigt lik inställning till matten, du och jag. Möjligen beskrev du den inställningen bättre.

Är inte DNA-baserna A = Adenin, C = Cytosin, G = Guanin och T = Tymin? Den sista byts ut om U = Uracil vid transkiberingen till mRNA. Fast du kanske pratar om några andra gener? *nyfiket förvirrad*

jonsch skrev:Hur lägger man A, H, C och G så att ingen del av mönstret någonsin upprepar sig exakt, samtidigt som så stora delar av mönstret som möjligt är så lika varandra som möjligt?

vad menar du med "så stora delar av mönstret är så lika varandra som möjligt"?

annars är det en fråga om det som kallas permutationer.

har du två element kan du ha dem i ordningen: a-b eller b-a dvs två olika sorteringar.

har du tre element kan du ha dem i ordningen: a-b-c eller b-c-a eller c-a-b eller a-c-b eller b-a-c eller c-a-b dvs sex olika sorteringar.

efter en massa matematiska bevis och utredningar kommer man så fram till att om man har n element så kan de ha n! olika sorteringar.

n! utläses n-fakultet och beräknas såhär:

1*2*3*4*5*......*(n-1)*n

i fallet med DNA-strängen är n=4. alltså kan man beräkna antalet möjliga sorteringar/kombinationer såhär:

1*2*3*4 = 6*4 = 24

det finns alltså 24 olika kombinationer av AHCG. MEN! denna regel gäller endast när du har n st element som vardera bara får förekomma EN gång var!
är det tillåtet i DNA-kedjan att ha följden x-x-x-x? isåfall får man lägga till ytterligare fyra. är det tillåtet att ha serien x-x-y-y? då måste ytterligare tio lösningar läggas till. och så vidare.
även detta är en form av permutationsräkning, om än lite mer komplicerad än den jag redovisade ovan.

Naturligtvis har du rätt om namnen på baserna i DNA respektive i RNA, nallen. Mea culpa (ah, har aldrig använt den frasen förut )

Fint förtydligande, weasley - och bra fråga. Jag fick en inre bild av att "genens" alla delar borde likna helheten så som Mandelbrotmängdens delar liknar helheten men nu börjar vi med att omformulera min lilla frågeställning:

Antag att jag äger en science-fiction-artad display som ser ut som en remsa genomskinlig plast och att jag förvarar den i min ficka. Varje gång den prasslar till så har jag fått ett SMS och tar upp remsan för att läsa. Jag vet aldrig om jag tar upp den på "rätt håll" eller "bak och fram". Dessutom visar displayen enbart tecknen J, L, bakvänt J och bakvänt L. Tanken är nu att jag ska se hur meddelandet har ändrat sig sedan förra SMS:et.

Hur måste ett meddelande vara funtat för att nästa meddelande skall kunna ses som en modifiering av det föregående? Det får inte vara helt symmetriskt, det är en regel. Däremot får det bli hur långt som helst - man kan skrolla längs båda kanterna på displayen.

Kanske är det lättast att känna igen det lika och hitta det förändrade ifall meddelandet är en fraktal, nästan men ändå inte symmetrisk kring mitten? Hur få tecken kan det vara innan man kan se om det stämmer?

jonsch skrev:Hur lägger man A, H, C och G så att ingen del av mönstret någonsin upprepar sig exakt, samtidigt som så stora delar av mönstret som möjligt är så lika varandra som möjligt?

Om man låter A=1, H=2, C=3 och G=4. Så menar du permutationer som inte har fixa punkter? Dvs om f är en bijektion från S_4 på sig själv så
är det alla bijektioner som uppfyller att de inte har. f(i)=i för alla 1<=i<=4. Bijektioner är ju samma sak som permutationer.
Man kan lätt lista och räkna ut en formel för kardinaliteten för mängden av alla sådana "mönster" om jag inte missförstått dig.
Gör man det får man en snygg tillämpning av inklusions-exklusions principen och en härledning av e^x.
-------------
2143
2341
2413
3142
3421
3412
4123
4321
4312
-------------
Det generella fallet n:
Sannolikheten att välja en sådan permutation slumpmässigt är 1/e=0.3679...
Typ sannolikheten för "total oordning" i ett permutations sammanhang höhö... Intressant nog ganska hög...
nu är ju ioförsig n=4 vilket inte bidrar med så hög precision.
Sorry om jag skriver slarvigt har säkert missat nått...

uniqueNr5 skrev:

jonsch skrev:Hur lägger man A, H, C och G så att ingen del av mönstret någonsin upprepar sig exakt, samtidigt som så stora delar av mönstret som möjligt är så lika varandra som möjligt?

Om man låter A=1, H=2, C=3 och G=4. Så menar du permutationer som inte har fixa punkter? Dvs om f är en bijektion från S_4 på sig själv så
är det alla bijektioner som uppfyller att de inte har. f(i)=i för alla 1<=i<=4.

du menar alltså att man inte nödvändigtvis måste börja räkna på element nr 1 i DNA-kedjan?

jag har lite svårt med det här konkreta exemplet, eftersom jag genast vill veta sådan som:

måste man räkna varje sekvens av DNA-kedjan som kodar för ett visst protein som en egen enhet?

hur fungerar DNA - kan det förekomma enheter av typen x-x-x-x?

tänk om enheten x-x-x-x egentligen tillhör två olika protein - då måste ju det ena proteinet sluta på -x-x och det andra börja på x-x-?

det var ju det här med att hänga upp sej på detaljerna...... *sucka*

dessutom, unique, jag ser inte att du fått fram en siffra på antalet möjliga kombinationer... eller är jag bara trött, slö och dum i huvet?

weasley skrev:

uniqueNr5 skrev:

jonsch skrev:Hur lägger man A, H, C och G så att ingen del av mönstret någonsin upprepar sig exakt, samtidigt som så stora delar av mönstret som möjligt är så lika varandra som möjligt?

Om man låter A=1, H=2, C=3 och G=4. Så menar du permutationer som inte har fixa punkter? Dvs om f är en bijektion från S_4 på sig själv så
är det alla bijektioner som uppfyller att de inte har. f(i)=i för alla 1<=i<=4.

du menar alltså att man inte nödvändigtvis måste börja räkna på element nr 1 i DNA-kedjan?

jag har lite svårt med det här konkreta exemplet, eftersom jag genast vill veta sådan som:

måste man räkna varje sekvens av DNA-kedjan som kodar för ett visst protein som en egen enhet?

hur fungerar DNA - kan det förekomma enheter av typen x-x-x-x?

tänk om enheten x-x-x-x egentligen tillhör två olika protein - då måste ju det ena proteinet sluta på -x-x och det andra börja på x-x-?

det var ju det här med att hänga upp sej på detaljerna...... *sucka*

dessutom, unique, jag ser inte att du fått fram en siffra på antalet möjliga kombinationer... eller är jag bara trött, slö och dum i huvet?

Det är bara att använda sig av Inklusions-Exklusions principen.
Man strartar med alla permutationer. Drar bort alla som har en fix punkt
f(i)=i. Då har man överräknat och blir tvungen att kompensera med
alla som har två fixpunkter f(i)=i och f(j)=j, i skilt från j . Men då har man
överkompenserat etc... en summa med alternerande tecken..
Det finns myriader av liknande kombinatorik problem. Kombinatorik är som sagt da shiiet.
http://mathworld.wolfram.com/Derangement.html
Däremot känns permutationer lite för fina och enkla för att bli spännande.
Multipermutationer och multimängder däremot. Då blir det intressant!

Hej!

Någon som kan förklara detta med diskret matematik? Har det inte något med logik att göra, nåt i datorernas värld? Eller är jag helt ute och surrar?

Hälsningar

Lilla Gumman

Diskret matematik är matematik som räknar på små mängder istället för kontinuerliga kurvor.

"Kontinuerlig matematik" kan se ut såhär när man ritar upp den:



till skillnad från den "diskreta matematiken" där man ritar upp den med hjälp av prickarna i den här bilden:

[img]http://root.cern.ch/root/html/MACRO_TGraph_1_c1.gif[/img]

Som du ser försöker man här göra en kontinuerlig kurva av de diskreta punkterna, genom att dra ett streck mellan punkterna.

Uttrycket "diskret" betyder alltså inte att det är en hemlighetsfull eller extra försiktig matematik, det betyder att man räknar med punkter eller mängder som är mer eller mindre åtskiljda från varandra.
Kvantmekanik innehåller en hel del diskret matematik eftersom fotonerna har bestämda energikvanta, dvs energimängder med bestämda värden och bestämda intervall.

Datorer arbetar visserligen med diskreta värden, 1 och 0, men där används mest binär matematik, eftersom antalet diskreta värden är två (0 är det ena värdet och 1 är det andra). Man kan alltså lite löst säga att datorer arbetar med en diskret del av den diskreta matematiken... ;-D

Binär matematik hänger nära ihop med boolesk algebra och logiska grindar för övrigt. Bara så du vet, om du skulle stöta på de uttrycken någon gång...

Framförallt så behöver diskret matematik inte alls baseras på tal eller talmängder.

Mängdlära kan väl kanske sägas vara grunden i diskret matematik, men då studerar man mängder i allmänhet. Det behöver alltså inte vara de "vanliga" mängderna i matematiken (naturliga talen, rationella talen, reella talen etc.), utan det kan vara precis vilka mängder som helst, t.ex. mängden av färgerna röd, grön och blå, eller mängden av alla medlemmar på detta forum.

Sedan studerar man relationer och funktioner över mängder. Den vanliga ordningsrelationen "<" (mindre än) är ett exempel på en relation över talmängder, men en relation kan se ut precis hur som helst egentligen och behöver inte vara över talmängder. Om vi t.ex. tar mängden av medlemmar på detta forum så kan vi t.ex. definiera en relation som relaterar varje medlem till varje annan medlem som den första någonsin har skrivit ett pm till. Så kan man studera egenskaper hos sådana relationer. T.ex. är ordningsrelationen transitiv, dvs. om x<y och y<z så gäller även att x<z. PM-relationen är däremot uppenbart inte transitiv. Om x har skickat ett pm till y och y har skickat ett pm till z så betyder inte att x måste ha skickat ett pm till z. På så sätt kan man hitta likheter och olikheter mellan olika relationer vilket kan ge intressant information om dem.

Ett annat central begrepp i diskret matematik är grafer. En graf är en mängd av noder (som kan representera precis vad som helst) och en mängd av bågar mellan dessa noder som visar vilka noder som är förbundna med varandra. Ett uppenbart exempel kan vara att representera en vägkarta som en graf, och så kan man t.ex. ha en båge mellan varje par av städer som går att åka mellan direkt utan att passera någon annan stad. Eller så har man bågar mellan alla par av städer och lägger till information i bågarna, t.ex. avståndet mellan städerna. Förväxla inte detta grafbegrepp med att vanliga diagram av den typ weasly postade ibland kallas för grafer. Det är olika saker. Ett specialfall av begreppet graf som är viktigt i många sammanhäng är begreppet träd, som är en graf där det finns en (indirekt) väg mellan alla par av noder men det inte finns några cykler (dvs. det finns aldrig två olika vägar att välja på mellan två noder). En graf kan också vara riktad, dvs varje båge har en riktning och pekar från en viss nod till en annan nod. T.ex. skulle vi kunna rita upp PM-relationen ovan genom att först låta varje forummedlem vara en nod och sedan för varje medlem rita en båge från den medlemmen till varje annan medlem som denna har skickat ett pm till (använd ett stort papper ).

Det finns mycket annat som också sorterar under diskret matematik, som t.ex. gruppteori och abstrakt algebra.

weasley skrev:vill man att fler ska få upp intresset för hur fantastiskt matte är, kan man inte börja med att ställa upp en trippelintegral med imaginära lösningar.

Kommer aldrig att bli intresserad av matematik, hur pedagogiskt riktigt man än lägger upp det. För mig är matematik en ren plåga & totalt ointressant.

Säg inte det, Krigis. Det finns säkert aspekter du gillar som faktiskt representerar matematiska saker hos saker du gillar. Musik torde vara ett exempel, vackra kvinnor ett annat.

Matte ska användas/studeras, den ska inte läras ut för då missar man åtskilliga av begåvningarna. Analysera måste man väl göra för att det skall kunna kallas matematisk studie och strikt måste den analysen vara men formell kanske den inte behöver vara.

Jag är ganska dålig på matte och har ingen större känsla för det. Den utbildning jag försöker avsluta har dock tyvärr mest matematik i sig, så jag får försöka stå på mig...

Observera, jag tycker inte direkt illa om matte, men jag är inte bra på det.

Kvasir skrev:Mängdlära kan väl kanske sägas vara grunden i diskret matematik

Mängdlära kan nog sägas vara grunden i all matematik.

md2perpe skrev:

Kvasir skrev:Mängdlära kan väl kanske sägas vara grunden i diskret matematik

Mängdlära kan nog sägas vara grunden i all matematik.

Visserligen, men i praktiken behövs den inte till så mycket av den "vanliga matematiken". Den "mest vanliga" matemtiken torde väl vara analys och vägen dit. Där kan jag inte dra mig till minnes att det någonsin har behövts mera än just mängbegreppet i sig och delmängdsrelationen i trivial användning. Användningen är så begränsad att det nog får ses som ren lyx att använda mängdläran alls där. Sannolikhetslära däremot drar mera nytta av mängdläran och där kanske den är svårare att klara sig utan.

md2perpe skrev:

Kvasir skrev:Mängdlära kan väl kanske sägas vara grunden i diskret matematik

Mängdlära kan nog sägas vara grunden i all matematik.

Jag har för mig att man hittade på mängdläran någon gång på 1800-talet. Eller har jag fel? Matematik (även diskret matematik) har funnits i tusentals år. Jag tror inte att matematiken saknade grund innan mängdläran fanns...

Tänk så roligt det var med mängdlära i lågstadiet - och vad våra föräldrar ondgjorde sig över den! Minns skol-TV programmen... alla pedagogiska övningar och material som plockades fram... inte vet jag om det var bättre eller sämre än annat men det var genuint ROLIGT!

Mats skrev:Jag har för mig att man hittade på mängdläran någon gång på 1800-talet. Eller har jag fel? Matematik (även diskret matematik) har funnits i tusentals år. Jag tror inte att matematiken saknade grund innan mängdläran fanns...

Mycket av den diskreta matematiken kan säkert gå att definiera utan mängdlära, men det blir förmodligen mycket rörigare och förmodligen inte heller lika precist. Mängdläran är helt enkelt en fantastisk uppfinning just för att den fungerar så bra som grundläggande och unifierande begrepp att utgå från när man definierar andra begrepp.

Titti skrev:Tänk så roligt det var med mängdlära i lågstadiet - och vad våra föräldrar ondgjorde sig över den! Minns skol-TV programmen... alla pedagogiska övningar och material som plockades fram... inte vet jag om det var bättre eller sämre än annat men det var genuint ROLIGT!

Ack ja, LGR 69 med dess vansinne att lära ut mängdlära redan i första klass. Visst, det var jätteroligt med TV-program med pratande kaniner och annat, och kanske lärde man sig t.o.m. att använda några elementära begrepp i mängdlära utan att förstå vad det var eller vad man skulle ha det till. Så här i efterhand så inser man att dessutom var totalt fel. Det som lärdes ut var multimängder, inte vanliga mängder, och då blir det än mer obegripligt varför man skulle lära ut det.

När man bygger ett hus börjar man med grunden. I matematik är "grunden" i själva verket en efterkonstruktion. Först formar man matematiken så att den fungerar, därefter försöker man hitta en "grund" som ger den matematik man redan använder. Lite bakvänt kan jag tycka...

Anledningen till att vi litar på matematik är inte att den vilar på någon axiomatisk grund, utan det är för att vi har flera tusen års erfarenhet av att den fungerar.

Mats skrev:När man bygger ett hus börjar man med grunden. I matematik är "grunden" i själva verket en efterkonstruktion. Först formar man matematiken så att den fungerar, därefter försöker man hitta en "grund" som ger den matematik man redan använder. Lite bakvänt kan jag tycka...

Anledningen till att vi litar på matematik är inte att den vilar på någon axiomatisk grund, utan det är för att vi har flera tusen års erfarenhet av att den fungerar.

Eftersom matematik, liksom andra ämnen, har växt fram under lång tid och ofta på ganska slumpmässigt och ostrukturerat vis så är det ganska meningslöst att prata om vad som är grunden ur det perspektivet. Det kan vara intressant rent matematikhistoriskt, men knappast annars. Det intressanta är hur man har styrt upp och formaliserat hela bygget så att det fungerar som ett axiomatiskt system med precisa definitioner och där man kan dra de slutsatser man önskade av sitt bygge. Sedan kanske man skulle kunna göra denna formalisering på ett helt annat sätt än det vanliga, men det är en annan sak. Jämförelsen med husbygget är ingen bra analogi.