\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{k}!}

n över k?

Arkimedes skrev:n över k?

Nej. n över k = \frac{n!}{(n-k)!k!}. Det är ett multinomial tal där \sum n_i = n. Exempelvis ett ord med n bokstäver och varje ord med nummer i förekommer n_i gånger då är detta antalet möjliga ord.

<a href="http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php" target="_blank" class="postlink">LaTeX tolk<a>

melodiernas byggstenar är:
rekursion. partitioner av heltal, compositions of integers, combinations of repetitions, ekvivalensrelationer och permutationer.
Jag orkar inte förklara.

Multinomialkoefficienten representerar antalet sätt att spela en melodi utan pauser där vi bestämt att vi ska ha n st toner n_{i} st toner av typen x_{i}
där i helst är större än 2 men ändligt.

Vill man beskriva situationen med olika duration- inget problem placera ut compositions of integers över tidsspannet. Problem solved.
Du fixerar först över en melodi som i sin tur är en composition med toner som väljs m^k där m är antalet toner att välja mellan (ur vårt tonsystem) och k är antalet toner I MELODIN.

Givet att man har en minsta tidsenhet och en durationsspann som är kongruent 0 modulo minsta tidsenhet samt ett ändligt antal toner kan man räkna ut exakt hur många och vilka melodier som någonsin har eller kommer att komponeras.

Det Cageianska dilemmat är inget problem.
Man sätter betraktar två på varandra följande pauser som lika med melodin som innehåller summan av pauserna på motsvarande plats i tid.
När melodin börjar och slutar har betydelse. Det skulle jazzmusikerna hålla med om.

Vad kan jag säga, jag har asperger

sov gott

Trådtitlen kanske skulle vara musikalisk kombinatorik då?

Väl medveten om att man kan göra en bra matematisk representation för detta även när man flera instrument inblandade så tycker jag det blir lite onödigt krångligt eftersom man då har k = #toner^{#antal instrument}. Finns det något bättre sätt att representera det på?

Krake skrev:Trådtitlen kanske skulle vara musikalisk kombinatorik då?

Väl medveten om att man kan göra en bra matematisk representation för detta även när man flera instrument inblandade så tycker jag det blir lite onödigt krångligt eftersom man då har k = #toner^{#antal instrument}. Finns det något bättre sätt att representera det på?

#toner^{#antal instrument} räknar något annat.

Jag antar att du tänkt på något annat och inte heller tagit hänsyn till rytm.
Vill du distingera mellan olika instrument eller vill du bara räkna polyfoniska kompositioner utan att ta hänsyn till melodins rytm.

Hur man än gör blir det "krångligt".
För om vi tittar på tex en Bach komposition och bortser från rytm så har vi olika situationer:
Säg att vi har 3 stämmor. Vi gör ingen distinktion mellan olika instrument.
Om vi vill räkna antalet polyfoniska satser så finns det en multitud av sätt att bara sätta upp parametrar. Ska vi t.ex. räkna antalet polyfoniska satser med n stämmor och m toner?
Då kan vi ju fördela antalet toner olika över olika stämmor. Bara det blir ett kombinatoriskt problem som faktiskt är antalet sätt att partitionera positiva heltalet m över n summander.
Sedan kommer det ändå ge 0 information om hur det skulle låta för vi vet duration/rytm är avgörande för hela grejen. En polyfonisk sats utan rytm är som ett komplext talplan utan imaginär axel.

Men man kan för enkelhets skull specialisera sig på något fiktivt enkelt polyfoniskt tex något i stil med en Chopin Etyd där man spelar tonerna i båda händerna med exakt samma rytm.
Låt oss låtsas att vi har m = 3 stämmor.
Låt säga att vi har 3*n toner för hela kompositionen, dvs varje stämma har äran att bidra med n toner (längden av de 3 simultana tonsekvenserna är alltså n) i vår melodi (där vi för enkelhetens skull bortser från rytm).
Om vi har ett piano så har vi 88 toner att välja bland.
För varje ton i en stämma har vi 88 val Detsamma gäller alla tre stämmor: (88*88*88)^n = (88^3)^n = förenklade polyfoniska situationer där.
Generellt Givet k toner, m stämmor och , n antalet toner stämmornas längd har vi
(k^m)^n = k^(mn), dvs (#toner)^(#stämmor*längden).
Gissar att du räknade med längden n=1. Dvs att låta m instrument samtidigt ta en ton vald bland k toner. k^m, där m är antalet instrument. Men det är väldigt väldigt förenklat och räknar inget intressant.

Fast problemet känns trivialt och ointressant om man förenklar det genom att bortse från rytm/duration.
Då kommer man ju undan med enkla multiplikationsprinciper.

Försöker man räkna antalet melodier genom att ta hänsyn till rytm och dessutom inte distingera mellan summan av två pauser och de två pauserna följande på varandra.
Då har man ett intressant kombinatorikproblem som faktiskt räknar antalet melodier med exakthet.
Så när som på ointressanta diskussioner på filosofisk nivå.

I det riktiga problemet får du "compositions of integers", "partitions of integers", multinomial koefficienter, rekursion m.m.

Det blir svårt att förenkla problemet utan att göra det meningslöst.

Det är nog egentligen intressantare, tycker jag, att skapa algoritmer för att generera alla melodier givet några parametrar.

Problemet är beräkningsbart. Antalet melodier är uppräkneligt enligt definitionen jag gav.
Melodierna mer eller lite mindre kommer täcka samtliga av de man kan notera med ett tradtionellt tonsystem (mer skulle direkt jag säga).

Hade jag haft tid hade jag roat mig med det [list=][/list]

En bijektion mellan kompositioner av positiva heltal n och mängden av alla delmängder till {1,2,...,n-1}

Betrakta följande:
1+1+1+1+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1+1+1 <--> {}
(1+1+1+1+1+1+1+1) <--> {1,2,3,4,5,6,7}
1+(1+1+1)+1+1+1+1 <--> {2,3}
(1+1)+1+(1+1)+(1+1+1) <--> {1,4,6,7}

Detta är en bijektion ty varje operand + kan ingå i en parentes eller inte.QED

Således finns det 2^(n-1) kompositioner av ett positivt heltalet n.

Tänk nu såhär.

Du har en takt som har minsta tidsenhet 1.
Taktens totala duration är 8 tidsenheter.

Vi har nu ett instrument som bara kan åstadkomma en enda ton. Vi ska nu spela melodier med denna enda ton. Utan pauser och över hela takten. På hur många sätt kan vi åstadkomma sådana melodier med de givna förutsättningarna.

De ovan givna melodierna vi räknar är precis antalet kompositioner av positiva heltal av 8.
dvs 2^7 = 128 olika sådana melodier. QED.

Som sagt vi har bortsett från pauser och fler än en enda ton.

Om vi har ett givet alfabete A = {a,b,c,d}.
Så är en multipermutation av längd 4 med bokstäver ur alfabetet A en sträng
xyzw där x,y,z,w är godtyckliga bokstäver i A.

Exempel:
aaaa
abab
aacd
dddd
dadc
cabc
...

osv.

Ett smidigt sätt att beräkna antalet multipermutationer av längd n är att betrakta
Maclauring serien e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
Den är en ordinär genererande funktion för talserien 1,1,1,1,...
MEN den är också en exponentiell genererande funktion för talserien 1,1,1/2!,1/3!,1/4!,...
Kan definiera genererande funktioner och härleda sambandet med multipermutationer vid ett senare tillfälle. Antag sålänge att denna e^x ger oss information om antalet multipermutationer så länge. Då har vi följande tillämpningar som exempel:

Låt oss säga att vi vill räkna antalet multipermutationer av alfabetet
{A,D,E,G,H,P,R,S}
Vi representerar förekomsten av varje bokstav i orden, strängarna eller multipermutationerna eller vad vi nu vill kalla dem med en faktor av e^x. Eftersom vi råkar ha 8 bokstäver i alfabetet har vi således (1+x+x/2!+x/3!+x/4!+...)^8 = e^(8x)

I det generella fallet har vi e^(nx)

Vill vi hitta antalet multipermutationer av längd m så söker vi koefficienten framför x^m/m! i utvecklingen av polynomet e^(nx)

Ok betrakta nu följande vi har ett piano med 88 distinkta toner.
Vi har en takt indelad i 8 tidsenheter. Vi ska spela melodier utan pauser där vi vill välja vilka toner som helst bland de 88 tonerna. Hur många sådana melodier finns det?

Mitt påstående är att vi söker koefficienten framför x^8/8! i utvecklingen av polynomet e^(88x). QED.

En multimängd M av en Mängd S = {1,2,3,...,n} är en mängd där man tar hänsyn till antalet element i delmängderna.

Det betyder alltså att {1,1,2,3} är distinkt från {1,2,3} för multimängder.

Kardinaliteten av en mängd är antalet element i mängden. Ovan har vi multimängder med kardinalitet 4 resp 3.

Om vi vill nu vill räkna antalet multimängder av kardinalitet r med element ur S
Så har vi just "combinations with repetitions".

Det är alltså detsamma som att räkna antalet val med repetition för r objekt ur n distinkta objekt.

Det är C(n+r-1, r) = (n+r-1)!/(r!*(n-1)!). QED.

Låt oss gå tillbaka till vår takt med längd 8 tidsenheter.
8 tidsenheter är lite för ointeressant så vi skalar upp till 16.

Nu ska vi utöva konsten att placera ut pauser över denna.
Förutsättningarna är följande: Vi ska välja ut exakt en melodi av längd 8 tidsenheter.
Antalet toner skulle kunna variera. Men i mån av tidsbrist väljer vi ut en av de många melodierna bestående av låt säga 4 toner med total tidslängd 8 tidsenheter som ska placeras ut över våra 16.

Mitt påstående är att vad vi har här är kombinationer med repetition:
Vi ska placera ut r=8 tidsenheter av tystnad över (mellan tonerna i takten) n=4+1 distinkta platser i takten. Det finns ju precis 5 platser runtomkring varje ton i melodin att använda för tystnad.

Alltså C(n+r-1,r) sätt att fördela pauser. QED.

Om vi antar att tystnad är central i musik. Vilket den torde vara.
Så kan vi tillåta oss att fundera över hur alla tystnadssituationer skulle se ut:


Låt r som är antalet tidsenheter av tystnad iterera från 0 till t=16 som är taktens totala längd.
och n=5; Då det totala antalet sätt att placera ut tystnader bli för C(n+r-1,r)
summan C(5-1,0)+C(5,1)+C(6,1)+...+C(20,16). QED.

Men kom ihång att för varje fall av tystnadskonfiguration har vi fixerat över exakt en enda tonsekvens.

Värt att nämna att även combinations with repetition kan härleda fram compositions of integers.

Med andra ord de kombinatoriska objekten vi behöver känna till för att härleda kardinaliteten av alla melodier av en given längd och en minsta tidsuppdelning är compositions of integers, combinations with repetition och genererande exponential funktionen e^x.
QED.