Krake skrev:Jonsch om du vill ha bra exempel på när det är omöjligt att använda numeriska simuleringar bör du slänga ett öga på den gren av matematiken som kallas dynamik.

Nu hänger jag nog inte med. Om det finns en mängd av REELLA problem som kan lösas med matematisk dynamik, så är jag 100% säker på att dessa problem även kan lösas numeriskt. Annars är de inga reella problem, utan abstrakta matematiska problem som kanske har en verklighetsanknytning och kanske inte.

Krake skrev:Ett litet fel eller en liten avrundning i en numerisk beräkning leder ofta till att detta växer med exponentiell hastighet tills det saknar likhet med verkligheten. Dynamiska system beskriver dessutom nästan allt som finns omkring oss och när dessa system inte är linjära så fungerar inte numeriska simuleringar bra. Som exempel kan man ta den s.k. Fjärilseffekten (en. butterfly effect) som beskriver att en så liten förändring som en fjärils vingslag på sikt innebär att en orkan bildas som annars inte skulle ha gjort det. Det brukar inom dynamiken kallas för "sensitive dependence on initial conditions" och faktum är att ju mer vi undersöker vår omvärld desto mer av detta fenomen finner vi. Det här är förstås även det ännu en intellektuell förklaring antar jag.

Självklart kan man lösa olinjära problem med numeriska metoder. Det är t.o.m. så att de flesta olinjära problem inte går att lösa med matematiska metoder, utan dessa ekvationer måste lösas med numeriska metoder. Samma sak med t.ex. partiella differntialekvationer. Det är ytterst få av dessa som har några exakta lösningar.

Krake skrev:Jo naturligtvis använder de numeriska metoder. Problemen med dessa är dock att de inte är så bra på att förutsäga verkligheten. Pga osäkerheter i mätningar och oförutsedda "småhändelser" (som fjärilar till exempel) är det omöjligt att göra en bra väderprognos längre fram än ca. 2 veckor oavsett hur bra och hur mycket man räknar på det.

Hmm. Tillåt mig att tvivla. Jag har jobbat på SMHi, dock ej med deras vädermodeller, men såvtt jag vet så använder våra väderprognoser fortfarande superdatorer och numeriska modeller. Och några längre prognoser än ca 2 veckor har jag inte sett skymten av. Längre prognoser än så är klimatprognoser, och bygger således på statistik ifrån tidigare klimat, och återigen, numeriska metoder för att beräkna denna statistisk. Jag har ingen anning om vart abstrakt matte i form av dynamiska modeller kommer in här.

Den som förordar numeriska simuleringar kan ju med fördel ge sig på [WikiSve]Riemannhypotesen[/WikiSve].

jonsch skrev:I övrigt reder du bara ut begreppen gällande numeriska metoder och Monte-Carlo-metoder (som jag som amatör alltid puttat in under mitt personliga begrepp om numeriska).

Naturligtvis är Monte-Carlo-metoder numeriska. Och det finns inget som säger att de modeller man använder behöver vara linjära heller, även om det var vanligt när det inte fanns snabba datorer.

De invändningar Krake har verkar helt grunda sig på imperfekta, linjära numeriska modeller utan slumptalsinslag. Det går att göra mycket mer än dessa simpla saker med numeriska metoder.

För att ta ett exempel med dynamik (ifrån elläran, där jag har bäst kunskaper). Det finns ju differentialekvationer för att beräkna spänning och ström i spolar och kondensatorer. Med hjälp av dessa kan man simulera alla de dynamiska förlopp som uppkommer i kretsar med spolar och kondensatorer med godtycklig upplösning. Man behöver aldrig förutsätta enkla ekvationer för inspänningar som går att lösa exakt med matematik (som sagt, de flesta komplexa integraler går inte att lösa exakt).

nallen skrev:Den som förordar numeriska simuleringar kan ju med fördel ge sig på [WikiSve]Riemannhypotesen[/WikiSve].

Vad skulle meningen vara med att bevisa den? Den verkar inte ha någon som helst verklighetsanknytning.

Rdos, jag får en känsla att du inte skiljer på bevis och beräkningar, vilket kanske kan förklaras av att du inte verkar förstå varken vad bevis är eller syftet med dem.

Kvasir skrev:Rdos, jag får en känsla att du inte skiljer på bevis och beräkningar, vilket kanske kan förklaras av att du inte verkar förstå varken vad bevis är eller syftet med dem.

Jo, jag är praktiskt lagd när det gäller matte. För mig räcker det att veta att en formel fungerar, eller att en numerisk metod fungerar. Jag behöver inte veta om den går att bevisa eller inte.

Dessutom så förstår de flesta som lär sig olika bevis ändå inte gången i bevisen, utan de flesta lär sig dem utantill isället (min erfarenhet ifrån skolan). Och när det gäller de mest komplicerade så undrar jag om vi kan vara säkra på om de är korrekta eller inte då väldigt få människor verkligen kan ta sig igenom deras logik, och då ifrågasätta resonemanget.

rdos skrev:Jo, jag är praktiskt lagd när det gäller matte. För mig räcker det att veta att en formel fungerar, eller att en numerisk metod fungerar. Jag behöver inte veta om den går att bevisa eller inte.

Aha, men poängen är att du inte kan veta om en formel fungerar om den inte är bevisad. Däremot måste inte just du känna till beviset, utan det räcker att du vet att det finns och att du vet under vilka förutsättningar formeln gäller. För de saker du lärt dig under utbildningen, och senare i böcker etc. är det inget problem, eftersom det är just vedertagen kunskap som är bevisad. Problemet är sedan att många ingenjörer hittar på egna metoder som de tror och tycker fungerar, men många gånger inte alls gör det, annat än i kanske i vissa fall. Det är lite som när man undersökte hur mellanstadiebarn gör för att räkna ut divisioner. Man hittade ett tjugotal olika metoder som de använde, men bara två av dem fungerade generellt. Alla de andra fungerade i varierande grad, men fungerade ofta bra för skolbokstal med tillrättalagda siffror.

Samma sak med numeriska metoder. Det finns massor av bevis bakom för att visa att de fungerar och när de fungerar, men för att använda dem räcker det förstås att veta just när de fungerar och vilka begränsningar de har.

Däremot anser jag inte att bevis ska slopas i mattekurserna på universiteten. Det fyller en funktion att man får se i alla fall de viktigaste bevisen och att man får en viss förståelse för bevisföring. Tyvärr är det som du säger att många aldrig förstår bevisen, men så är det med mycket annat i utbildningarna också.

Det är inget fel att vara pragmatiskt lagd. Du är ingenjör och använder matematiken. Du jobbar inte med att utveckla den eller lära ut den. Då behöver du inte nödvändigtvis bevisen och teorin. Faktum är att även jag som forskare inte alltid läser andras bevis, utan ibland nöjer mig med själva teoremet, som säger vad som bevisas, och litar på att beviset håller. Det är mest när teoremet säger något överraskande som det blir intressant att läsa beviset, för att försöka förstå varför det är som teoremet säger. På samma sätt förväntar jag mig oftast inte många läsare av mina egna bevis, utan utgår från att de flesta bara läser teoremen.

Edit: Missade det sista i ditt inlägg. Jo mera komplexa bevis kan vara problematiska just för att allt färre förstår dem och orkar förstå dem. När det gäller de mera centrala bevisen så får man nog ändå förutsätta att de granskas av tillräckligt många skarpa hjärnor. Problemet är mest de mera perifera bevisen, där kanske inte så många bryr sig om att läsa dem. Skulle ett sådant bevis visa sig vara fel så kommer i allmänhet någon så småningom upptäcka det, dock, i de allra flesta fall.

Här ska man inte heller glömma att det jobbas mycket med metoder för att verifiera bevis. Dels jobbas det med formella metoder för att försöka automatisera både bevisning och bevisverifiering, och dels jobbar man med metoder för hur bevis ska vara uppbyggda för att underlätta att kunna verifiera dem. Här finns t.ex. något intressant som heter probabilistically checkable proofs, som såvitt jag förstått innebär att om ett bevis är konstruerat enligt ett visst system så räcker det med att kontrollera ett antal slumpmässigt valda detaljer i det för att med mycket hög säkerhet kunna avgöra om det stämmer eller inte.

Detta med autmatisk verifiering av bevis är förstås också mycket nära kopplat till fosrkningen på att automatiskt verifiera program och hårdvara, vilket är ett starkt växande område med stor industriell relevans.

Kvasir skrev:Det är lite som när man undersökte hur mellanstadiebarn gör för att räkna ut divisioner. Man hittade ett tjugotal olika metoder som de använde, men bara två av dem fungerade generellt. Alla de andra fungerade i varierande grad, men fungerade ofta bra för skolbokstal med tillrättalagda siffror.

Jag skulle gärna vilja ha en källa till detta (inte för att jag inte tror på dig, utan beroende på mitt barn har problem med matematik och jag med informationen kan kanske hitta felaktigheterna i resonemangen och hjälpa till att hitta rätt metoder).

Miche skrev:

Kvasir skrev:Det är lite som när man undersökte hur mellanstadiebarn gör för att räkna ut divisioner. Man hittade ett tjugotal olika metoder som de använde, men bara två av dem fungerade generellt. Alla de andra fungerade i varierande grad, men fungerade ofta bra för skolbokstal med tillrättalagda siffror.

Jag skulle gärna vilja ha en källa till detta (inte för att jag inte tror på dig, utan beroende på mitt barn har problem med matematik och jag med informationen kan kanske hitta felaktigheterna i resonemangen och hjälpa till att hitta rätt metoder).

Det är väldigt många år sedan jag läste det, så jag kommer inte ihåg några närmare detaljer, men förhoppningsvis har den undersökning haft någon effekt på undervisningen.

Precis som Kvasir säger krävs det bakomliggande matte även för numeriska metoder. Dessutom krävs det bakomliggande matte för det man använder dessa metoder på för att man öht ska veta vad man får svar på och vilka beräkningar man ska göra. Numeriska metoder är dessutom, som nämnts ovan, ineffektiva om feluppskattningar växer exponentiellt eller överexponentiellt vilket inte alls är ovanligt. Numeriska metoder är förstås jättebra till en massa praktiska tillämpningar, men att säga att de är lösningen på alla tänkbara problem är långt ifrån sant.

Krake, jag har nog kommit ett steg längre än så. Enligt min mening finns inga garantier för att de matematiska bevis som ligger till grund för numeriska metoder (eller för den delen för att beskriva verkligheten på annat sätt) är mer sanna än rent empiriska metoder. Det finns en övertro hos västerlänningar till naturvetenskap och naturvetenskapliga metoder. Speciellt när man hamnar i gränslandet till var matematiken ö.h.t. kan anses ha något berättigande. Bra exempel finns både ifrån fysiken (strängteorier och annat matematiskt pladder) och ifrån kosmos (big bang och relaterat pladder). Dessutom finns även skräckexempel ifrån humaniora (biologisk psykiatri baserad på förment naturvetenskapliga metoder).

Å andra sidan handlar det väl snarare om missbruk av den naturvetenskapliga metoden snarare än brister i själva metoden. En sann naturveterares främsta egenskap är att kunna avgöra när en modell inte går att tillämpa, oavsett hur solid själva modellens matematik är. I slutändan är det verkligheten (= empiriska observationer) som är sannningen, inte matematiska modeller, oavsett hur tilltalande de må vara.

Och numeriska simuleringar är sanna om de stämmer med empiriska observerationer, oavsett vad de matematiska modellerna säger.

Nu har vi råkat begränsa en mattefrälsningstråd till en diskussion enbart mellan folk som redan gillar att använda matte - hmmmm. Nå, OK då.

Både rdos' och övrigas argument ligger det något i - och i mina också.

Den praktiska poängen med exakt matte och bevis är att kunna veta saker innan man har kollat.

Men poängen försvinner ju om varje modell är så grov eller falsk upplösning av verkligheten att den endast gäller i ett litet stycke verklighet eller i stor skala, vars gränser/storlek dessutom måste undersökas empiriskt.

Jag letar efter universums och matematikens gemensamma grundelement, i termer av vilka man alltså skulle kunna beskriva godtyckligt stor del av verkligheten i en exakt, matematisk modell, om det bara skulle gå att hantera så mycket data i en i sammanhanget användbar enhet.

Det känns för mig som en ambition som "det matematiska samfundet" åtminstone borde uppmuntra, även om den måhända inte vore lämplig att helt överge sin egen (?) för. Men såvitt jag tycker mig se så föredrar man att underminera sina egna argument mot rdos' dito.

jonsch skrev:Nu har vi råkat begränsa en mattefrälsningstråd till en diskussion enbart mellan folk som redan gillar att använda matte - hmmmm. Nå, OK då.

Begränsa och begränsa...

Förutom vi som gillar matte är det bara du och tahlia som hittade hit och stannade kvar efter trådens andra sida (och tahlia tycks ha fått bra förklaringar som gjort henne nöjd...), resten av användarna på forumet som eventuellt inte gillar matte tittar nog inte alls in i tråden pga rent ointresse eller så har de blivit avskräckta från att kommentera...

Miche skrev:resten av användarna på forumet som eventuellt inte gillar matte tittar nog inte alls in i tråden pga rent ointresse eller så har de blivit avskräckta från att kommentera...

Jag kan tänka mig att det också finns en och annan som förstår så mycket av vad numeriska metoder är att de tycker att rdos har vunnit debatten.

Eller åtminstone hoppas jag att ni tror det för då känner ni er tvungna att ta min hjälp med att frälsa folk!

Stämmer min lilla uträkning som jag gjorde på denna andragradsekvation. Gör detta bara för att se om jag minns min matte från för något år sen.

X^2+5X+3=0 och eftersom X=-P/2±√((p/2)^2-q) så blir ekvationen följande:

X1,2= -5/2±√((5/2)^2-3)
X1,2= -2.5±√((2,5^2)-3)
X1,2= -2,5±√(6,25-3)
X1,2= -2,5 ±√3,25
X1,2= -2,5±1,8
X1= -2,5+1,8= -0,7
X2= -2,5-1.8= -4,3

Lös den allmänna tredjegradsekvationen istället.

Lärde mig den själv på högstadiet, fast jag vet inte om jag minns hur man gör längre.

Jag gillar matte, men lider av NLD (Non-verbal Learning Disorder) så det går inget vidare tyvärr, vilket satt käppar i hjulet för andra intressen och ambitioner.

Rdos, om du inte litar på bevisen bakom numeriska metoder, hur kan då förespråka dem som bättre än bevis? Du trasslar in dig i ett hörn här. Det förefaller dock som du har svårt att skilja på modellering och beräkning, på matematik och tillämplning av matematik etc, så det är inte konstigt att det blir en enda sörja av det du skriver. Ofta talar vi nog om helt olika saker, fast du använder begreppen huller om buller, så du verkar tala om en sak, men egentligen nog talar om flera helt olika saker utan att själv förstå det. Om du inte själv förstår skillnaden på de olika saker vi diskuterar så är det inte konstigt att du inte förstår mig och Krake heller.

Matematiska teorier kan inte bevisas empiriskt. De är nämligen axiomatiska. Naturvetenskapliga modeller måste valideras empiriskt så långt möjligt är, men den matematik modellerna använder i grunden är fortfarande just matematik och måste vara bevisad korrekt för att det ska vara meningsfullt att ens bry sig om empirisk verifiering av modellerna. Likaså måste den matematiska grunden för numeriska metoder vara bevisat korrekt om man överhuvudtaget ska överväga att lita på resultaten av en beräkning. Därefter hänger det på modellen av det man vill beräkna.

Om matematiken inte ger det svar du vill ha, så är det du som har ställt fel fråga, eller gjort en felaktig modell. Det är inte matematiken det är fel på. Däremot kan det vara fullständigt oanvändbar för just ditt ändamål, men det är en helt annan fråga, och sådana situationer föder ny matematik.

marxisten skrev:Stämmer min lilla uträkning som jag gjorde på denna andragradsekvation. Gör detta bara för att se om jag minns min matte från för något år sen.

X^2+5X+3=0 och eftersom X=-P/2±√((p/2)^2-q) så blir ekvationen följande:

X1,2= -5/2±√((5/2)^2-3)
X1,2= -2.5±√((2,5^2)-3)
X1,2= -2,5±√(6,25-3)
X1,2= -2,5 ±√3,25
X1,2= -2,5±1,8
X1= -2,5+1,8= -0,7
X2= -2,5-1.8= -4,3

Ja den stämmer. Jag är dock allergisk mot att avrunda när man kan ange värdena exakt, nämligen

x = (-5±√13) / 2

Kvasir, är det verkligen som du just skrev? Som jag uppfattat det så snos det ihop massor av beräkningsprogram m.h.a. erfarenhet mer än m.h.a. matte, liksom var fallet med de medeltida katedralerna. Eller med åtskilliga moderna tävlingsbilar. Eller med...

Om jag har fel här så får jag verkligen fundera över om absolut matematik som jag så gärna predikar för har något omedelbart att tillföra världen.

Kvasir skrev:Rdos, om du inte litar på bevisen bakom numeriska metoder, hur kan då förespråka dem som bättre än bevis?

Enkelt. Det som ger rätt result är per definition korrekt. Om något stämmer med empiriska resultat så måste det vara korrekt, oavsett om det går att bevisa eller inte.

Kvasir skrev:Matematiska teorier kan inte bevisas empiriskt. De är nämligen axiomatiska. Naturvetenskapliga modeller måste valideras empiriskt så långt möjligt är, men den matematik modellerna använder i grunden är fortfarande just matematik och måste vara bevisad korrekt för att det ska vara meningsfullt att ens bry sig om empirisk verifiering av modellerna.

Njae. Vet inte om jag håller med. Som ett exempel så behöver man inte bevisa att a + b är lika med b + a, eller att man kan flytta omkring saker på vissa sätt i ekvationer. Fungerar det så är det korrekt. Oavsett bevis.

Som sagt det är praktisk matte som är min styrka, inte teoretisk.

Kvasir skrev:Likaså måste den matematiska grunden för numeriska metoder vara bevisat korrekt om man överhuvudtaget ska överväga att lita på resultaten av en beräkning. Därefter hänger det på modellen av det man vill beräkna.

Det finns simuleringar. Man kan med simuleringar och statistik visa att något med stor sannolikhet är korrekt. Det räcker för mig.

Kvasir skrev:Om matematiken inte ger det svar du vill ha, så är det du som har ställt fel fråga, eller gjort en felaktig modell. Det är inte matematiken det är fel på. Däremot kan det vara fullständigt oanvändbar för just ditt ändamål, men det är en helt annan fråga, och sådana situationer föder ny matematik.

Adaptiva system och fuzzy-logik är intressanta just för att de kan kassera exakt matematik och komplexa modeller. Sanningen är oftast den att många komplexa fenomen inte låter sig formuleras med exakt matematik, och även om de gör det, så går ekvationerna ändå inte att lösa exakt.

jonsch skrev:Om jag har fel här så får jag verkligen fundera över om absolut matematik som jag så gärna predikar för har något omedelbart att tillföra världen.

Men jag väl rätt om särskilt det nedan fetstilta gäller.

jonsch skrev:Den praktiska poängen med exakt matte och bevis är att kunna veta saker innan man har kollat.

Men poängen försvinner ju om varje modell är så grov eller falsk upplösning av verkligheten att den endast gäller i ett litet stycke verklighet eller i stor skala, vars gränser/storlek dessutom måste undersökas empiriskt.

Endast omatematiskt hpsnodda program duger ju ifall man måste fastställa gränser/storlekar som de matematiska axiomen är för lågupplösta för att kunna ge förutsägande matematiska modeller för.

Om nu inte Kvasir skulle orka, så kan jag litet grand.

rdos skrev:

Kvasir skrev:Rdos, om du inte litar på bevisen bakom numeriska metoder, hur kan då förespråka dem som bättre än bevis?

Enkelt. Det som ger rätt result är per definition korrekt. Om något stämmer med empiriska resultat så måste det vara korrekt, oavsett om det går att bevisa eller inte.

Där läste du inte ordentligt, rdos. Kvasir började med skriva att de numeriska metoderna du använder är gjorda m.h.a. axiom och exakt matematik. Alltså använder du ju i så fall axiom och exakt matematik när du "empiriskt" får resultat m.h.a. programmen, som stämmer med verkligheten.

Och då undrar Kvasir förstås varför du tror på dina numeriska metoder men inte på axiom och exakt matematik.

rdos skrev:Som ett exempel så behöver man inte bevisa att a + b är lika med b + a,

Nej, det behöver man inte bevisa. Det är nämligen ett axiom.