Moggy skrev:

Arkimedes skrev:De möjliga utfallen för två barn är:
"p,p"
"p,f"
"f,p"
"f,f".

2 av 4 fall är i så fall gynsamma.

f,f går bort eftersom vi vet att ett av barnen är pojke.

Men vi vet inte om den pojken är det äldsta eller yngsta barnet.

Det blir alltså i 2 av 3 möjliga fall som ett av barnen är flicka. 67%.

Jag förstår detta nu. Och jag såg först nu att Krake redan hade svarat på frågan. (Jag såg nyare inlägg först efter att jag hade postat mitt svar. (Ibland när man klickar på "nya inlägg" för att komma direkt till de senaste så kommer man till nästsista sidan istället. Och jag har inte lärt mig att uppmärksamma detta ännu. Så jag ber om ursäkt för att jag klantar mig.))

En annan fundering jag har kring sannolikheter. Läser nämligen en kurs i statistik och sannolikhetslära för tillfället. När vi löser uppgifter har jag ibland svårt att förstå när mängderna är att betrakta som ordnade resp. oordnade? Det är alltså inte begreppen jag har problem med, utan hur jag ska veta vilken som passar bäst i olika tillämpningar.

Jag har svårt att formulera frågan men kan specifiera med ett exempel om det är svårt att förstå frågan.

tahlia skrev:Det gör att matematikerns uttalande ses som teorier - inte fakta.

Vad menar du med "teori" här?

Det verkar råda nåt slags allmän missuppfattning att en teori är något osäkert - en trori är en beskrivning av världen. För att en teori skall bli accepterad så behöver den vara hanterar och beskriva (en del av) världen på ett sätt som stämmer överens med gjorda observationer. Dessutom bör den förutsäga nya observationer.

nallen skrev:

tahlia skrev:Det gör att matematikerns uttalande ses som teorier - inte fakta.

Vad menar du med "teori" här?

Vad jag menar är att en teori är något du kan lägga fram utan att bevisa att det du säger faktiskt stämmer - dvs utan att ha påtagliga fakta.
Om någon hävdar att du dör om ditt hjärta stannar så är det ett bevisat faktum. Om någon däremot skulle gå vidare och hävda att du inte bara dör - din själ kommer att lämna kroppen och gå vidare till en parallell värld, osynlig för de som lever och du baserar det på att ett stort antal personer hävdar att de sett andar, eller att du själv sett andar - då har du en teori.
(Nu var det där ett gigantiskt extremexempel bara för att göra det tydligt och därför på gränsen till godtagbart för "teori")

Hänger du med?

Tahlia, du har totalt missförstått vad matematik är. I matematiken kan man, till skillnad från i stort sett alla andra sammanhang, uttala sig säkert och bevisa saker säkert. Matematiken utgår nämligen från sig själv. Den är ett s.k. axiomatiskt system. Det betyder att man har bestämt vad man ska utgå från som sanning (vad som är axiomen). Matematiken handlar sedan om att studera vad som måste gälla och inte kan gälla, givet dessa axiom. Man kan säga att matematiken studerar sig själv, och inte världen.

När det gäller att uttala sig om världen måste man alltså gå till andra vetenskaper, t.ex. fysik eller medicin. De använder sig av matematiken som ett verktyg. De har att välja om de anser att matematikens axiom stämmer med verkligheten eller inte. Om fysikerna anser att matematikens axiom fungerar för deras syften att modellera verkligheten, då kan de också använda matematikens resultat och lita på dessa eftersom de är bevisade. Men det är fysikernas ansvar att godta eller förkasta matematikens axiom. De är fysikerna som uttalar sig om världen med hjälp av matematiken; det är inte matematikerna som gör det. Däremot har man i matematiken naturligtvis till stor del valt axiom som stämmer med vad andra vetenskaper, t.ex. fysiken, behöver och anser stämma med verkligheten, just för att matematiken ska vara ett användbart verktyg.

I många fall är det dessutom så att matematikens axiom är mera generellt hållna, så att det fysikerna utgår från som modell för världen bara är ett specialfall av matematikens "världsbild".

Krake skrev:Nej jag skrev inte fel! Jämfört med innan en dörr försvann så är chansen att man valt rätt från början exakt densamma så att påstå att man försämrar sina chanser genom att inte byta är nonsens. Däremot förbättrar man sina chanser om man byter men det är inte detsamma.

Jag tycker du uttrycker dig väldigt oklart för att vara matematiker. Är det möjligen så att du glömmer att säga att du dels talar om den ursprungliga sannolikheten innan vi visste något mera än att det finns tre dörrar och dels om den villkorliga sannolikhet som gäller sedan en dörr har öppnats? Det är helt olika saker, och om du inte tydligt skiljer på dessa så blir det väldigt förvirrande att säga som du gör.

Dessutom förefaller du helt ha glömt påpeka att det är det är en person som väljer vilken dörr som ska öppnas, med vetskap om vad som finns bakom dörrarna (vilket Moggy senare påpekade). Det är visserligen vanligt att folk glömmer säga detta, men icke desto mindre nödvändigt för att förstå och analysera problemet. Gissningsvis härör detta ur att många av de beskrivningar som florerar utgår från att läsaren har sett TV-programmet och därför vet detta redan. Om man inte säger detta förleds man lätt att tro att det är en slumpmässigt vald dörr.

Du bidrar i och med detta tyvärr till att framställa matematiken som mera svårförståelig än den är.

Det här med att sova på saker är helt klart underskattat.

Moggy skrev:Efter att försöksledaren har öppnat en dörr och innan du väljer om du ska byta dörr eller hålla fast vid första dörren, så fundera på vad du vet om situationen. Du vet att det fortfarande är 33% chans att du valde prisdörren från första början. Inget har förändrats här.

Du vet även att det fortfarande är 66% chans att priset finns bakom en av de två dörrarna som du inte valde först.

Du vet att försöksledaren har öppnat en dörr där sannolikheten är 0% att priset finns bakom.

Alltså vet du även att det är 66% chans att priset finns bakom den dörr du inte valde från början.

Det var det här (fast i lite andra ordalag och vänt åt andra hållet) som gick upp för mig när jag vaknade. Vilket bidrog till den uppföljande tanken: Uträkningen är fortfarande meningslös.

Det enda som spelar roll är det jag redan vet från början. Dvs att risken är större att jag väljer fel dörr än chansen att jag väljer rätt. Det förändras inte för att en dörr öppnas. Alltså vet jag redan innan dörren öppnas att om man plockar bort en dörr så är det större risk att jag valt fel än att jag valt rätt. Vilket, i min värld, då gör nämnda uträkning poänglös och onödig. Den säger mig bara vad jag redan vet.

Känner det som om jag krånglar lite igen.
(fast egentligen är det ju matematiken som krånglar till det... tar ett enkelt faktum - något man redan vet - och förvandlar det till ett icke-existerande problem)

...vilket leder mig till tanken att matematiken bara är ett krångligare sätt att tala om för mig vad jag redan vet och kan uttrycka i ord (så att säga).

Moggy skrev:Han ansåg att dessa utfall var möjliga och där P* avser pojken som det syftas på i problemet "det finns åtminstone en pojke".

P*,P
P, P*
F, P*
P*, F
(F ,F)
(F, F)

Jag kände instinktivt att det var ett felaktigt resonemang men kunde inte formulera mig på ett sätt där jag lyckades förklara det felaktiga. Vilket gjorde att han ansåg sig ha rätt och att chansen trots allt var 50% för att ett av barnen var flicka.

Det här är rätt. Se det så här. Du får veta att i en familj med två barn så finns det en pojke. Det finns nu fyra möjligheter för det andra barnet:

Äldre pojke.
Äldre flicka.
Yngre pojke.
Yngre flicka.

Alltså 50%.

Moderator mnordgren: Fixade citatet. Tänk på att ange rätt person när ni citerar.

tahlia skrev:Det här med att sova på saker är helt klart underskattat.

Definitivt... Fast för mig brukar det bästa vara att ägna sig åt något helt annat så att andra delar av hjärnan tar över problemet och bearbetar det "i bakgrunden".

tahlia skrev:Det var det här (fast i lite andra ordalag och vänt åt andra hållet) som gick upp för mig när jag vaknade. Vilket bidrog till den uppföljande tanken: Uträkningen är fortfarande meningslös.

Hmm, Moggys beskrivning var glasklar och visade tydligare än någonsin att uträkningen definitivt inte är meningslös.

tahlia skrev:Det enda som spelar roll är det jag redan vet från början. Dvs att risken är större att jag väljer fel dörr än chansen att jag väljer rätt. Det förändras inte för att en dörr öppnas. Alltså vet jag redan innan dörren öppnas att om man plockar bort en dörr så är det större risk att jag valt fel än att jag valt rätt. Vilket, i min värld, då gör nämnda uträkning poänglös och onödig. Den säger mig bara vad jag redan vet.

Exakt, här känns det som om du förstått allt utom just själva uträkningen.

Ett tydligare exempel där varje bokstav representerar dörrarna och vad som finns bakom (D = drake, S = skatt) samt de val du kan göra (fetstil) och den dörr som program/försöksledaren öppnar är understruken.
DDS
Här har du valt du valt den första drakdörren, programledare öppnar den andra, om du byter dörr har du hittat skatten.

DDS
Här har du valt du valt den andra drakdörren, programledare öppnar den första, om du byter dörr har du hittat skatten.

DDS
Här har du valt du valt den tredje dörren (rätt dörr), programledare öppnar den en av dörrarna med drake bakom, om du byter dörr har du förlorat.

Exemplet visar tydligt grafiskt att byte av dörr ger vinst två gånger av tre.

tahlia skrev:Känner det som om jag krånglar lite igen.
(fast egentligen är det ju matematiken som krånglar till det... tar ett enkelt faktum - något man redan vet - och förvandlar det till ett icke-existerande problem)

Tvärtom, utan matematik så måste man lösa problemen med olika varianter av beskrivningar, antingen som Moggys exempel eller grafiskt som ovan, när det gäller så här enkla exempel är det genomförbart, men många exempel är betydligt mycket mer komplicerade och kommer att kräva gigantiska beskrivningar och utan matematik kommer det att vara ogenomförbart.

Jag kan inte låta bli det här gamla Monthy-Hall-problemet! Särskilt som Krake aldrig antog min sista utmaning - jag är stor nog i korken för att tro att det hade räddat oss från litet förvirring.

Men såhär då:

Vi har 100 dörrar. Bakom 99 finns drakar, bakom en finns en skatt och dörrarna öppnas av spelledaren. Först försöker jag mig på spelet.

tahlia (i det här exemplet) är klok nog att syssla med bättre saker en stund.

Jag kliver fram och väljer en dörr - och spelledaren öppnar 98 andra dörrar, bakom vilka det finns drakar som genast börjar jaga mig bortåt horisonten.

Där bestämmer sig tahlia för att ta över spelet. tahlia, du vet ju att jag bara hade 1% chans att välja rätt dörr. Så varför skulle du välja just den, du också? Det skulle bara ge dig min 1%:iga chans att få skatten.

Men nu finns det ju en dörr till som spelledaren hållit stängd. Om jag valde fel dörr, vilket jag med 99% sannolikhet gjorde, så är det bakom den andra dörren som skatten finns. Så du ökar alltså dina chanser från 1% till 99% om du byter dörr från den jag valde.

...

Om det istället är 3 dörrar så hade jag bara sannolikheten 1/3 att välja rätt dörr. Med slh 2/3 valde jag fel, innan draken jagade iväg mig. Sannolikheten är 2/3 att skatten finns bakom någon av de andra dörrarna; slh är 2/3 att skatten finns bakom just den andra av de två dörrar som spelledaren behöll stängda.

När det nu är din tur ökar du dina chanser från 1/3 till 2/3 om du byter dörr från den jag valde.

---------------------------

Där släpper jag nog Monthy-Hall-problemet. Men oavsett om det är färdigutrett eller inte så tycker jag att det väl lyckas öppna dörrarna till frågan om matematik är en drake eller en skatt!

lidden skrev:Det här är rätt. Se det så här. Du får veta att i en familj med två barn så finns det en pojke. Det finns nu fyra möjligheter för det andra barnet:

Äldre pojke.
Äldre flicka.
Yngre pojke.
Yngre flicka.

Alltså 50%.

Du har glömt möjligheten att båda barnen kan vara pojkar...

Gör om, gör rätt!

tahlia skrev:...vilket leder mig till tanken att matematiken bara är ett krångligare sätt att tala om för mig vad jag redan vet och kan uttrycka i ord (så att säga).

Jo, givetvis går det att uttrycka i ord, men är det praktiskt genomförbart? Vi har använt kanske 20 inlägg hittills på att förklara Monty Hall utan matematik för dig och du förstår fortfarande inte varför du ska byta dörr, en matematiker kan förklara det med matematiska termer på en enda rad...

[EDIT]:
Klantade mig och citerade istället för att ändra, så jag tog detta som ett nytt inlägg istället.

Miche skrev:

lidden skrev:Det här är rätt. Se det så här. Du får veta att i en familj med två barn så finns det en pojke. Det finns nu fyra möjligheter för det andra barnet:

Äldre pojke.
Äldre flicka.
Yngre pojke.
Yngre flicka.

Alltså 50%.

Du har glömt möjligheten att båda barnen kan vara pojkar...

Gör om, gör rätt!

Om en pojke har en äldre bror så blir det två pojkar, samma om han har en yngre bror.

lidden skrev:Om en pojke har en äldre bror så blir det två pojkar, samma om han har en yngre bror.

Alltså två alternativ till...

tahlia skrev:...vilket leder mig till tanken att matematiken bara är ett krångligare sätt att tala om för mig vad jag redan vet och kan uttrycka i ord (så att säga).

För väldigt enkla matematiska påståenden och slutsatser kan det möjligen vara så, men hur fort man behöver lite mera än "vanlig vardagsmatematik" så blir det snabbt otympligt och obegripligt om man försöker beskriva det utan att använda matematik. Man har inte uppfunnit matematiken för att krångla till saker, utan tvärtom för att kunna uttrycka sig klart och tydligt. Dock är matematiken att betrakta som ett språk, som man måste lära sig för att ha nytta av, precis som man måste lära sig engelska för att förstå och använda engelska. Matematikens språk kan sedan förefalla omöjligt att förstå för många, men jag tror de flesta skulle kunna förstå ganska mycket om någon hade tid att hitta ett sätt att förklara som är anpassat till den enskilda individen.

Sedan är det förstås så att de flesta i denna tråd, och i många andra sammanhang, försöker använda matematik beskriven i ord snarare än formler, med tanke på alla ni som inte är vana vid just matematikens formelspråk. Tyvärr blir sådant lätt varken hackat eller malet. Man tappar klarheten hos formelspårket, utan att det självklart blir så mycket lättare att förstå.

Jag minns ännu idag ett skräckexempel från min studietid, en bok i optimeringslära som egentligen var skriven för ekonomer och därför försökte undvika matematik. Exemplen var 20 sidor långa och skrivna i ren text, och istället för att kalla en variabel kort och gott för x så envisades författarna med att kalla den t.ex. "number of hundred-cases of six-ounce juice glasses", och liknande. Gissa om man tröttnade efter att ha läst den harangen tio gånger i formler uttryckta i ren text.

Miche skrev:Alltså två alternativ till...

De alternativen är redan inräknade.

Miche skrev:Jo, givetvis går det att uttrycka i ord, men är det praktiskt genomförbart? Vi har använt kanske 20 inlägg hittills på att förklara Monty Hall utan matematik för dig och du förstår fortfarande inte varför du ska byta dörr, en matematiker kan förklara det med matematiska termer på en enda rad...

Faktum är att jag har förstått varför jag ska byta dörr (vilket jag tackar alla tålmodiga själar som bidragit i tråden för). Det ledde mig då istället till oförstående gällande nyttan med själva uträkningen eftersom jag redan hade den informationen som räknas ut innan vi räknade ut den, så att säga. Hänger du med?

Lösningen går att förklara i korthet även med ord: "Sannolikheten förändras inte om en dörr öppnas eftersom valet redan är gjort och då mellan tre dörrar."

Det som förvirrade mig var det faktum att problemet var uppställt på sådant vis att jag fick intrycket av att öppnandet av den ena dörren tvunget skulle ha någon form av effekt. Anledningen till att jag tolkade problemet på det viset beror på att jag utgick ifrån att "räkna" måste innebära att ta reda på något jag inte redan vet.

Jag misstänker att den uppfattningen grundar sig på den matematik man läste i grundskolan. Själva poängen där är att ta de fakta du har och lägga ihop dem (dra ifrån, dela på etc) för att få fram det du inte vet, men behöver veta. T.ex hur många rullar tapet du måste ha till ett specifikt rum.

Matematik här är något helt annat. Nämligen:

Kvasir skrev:För väldigt enkla matematiska påståenden och slutsatser kan det möjligen vara så, men hur fort man behöver lite mera än "vanlig vardagsmatematik" så blir det snabbt otympligt och obegripligt om man försöker beskriva det utan att använda matematik. Man har inte uppfunnit matematiken för att krångla till saker, utan tvärtom för att kunna uttrycka sig klart och tydligt. Dock är matematiken att betrakta som ett språk, som man måste lära sig för att ha nytta av...

Ett språk.

Ungefär här slog det mig varför människor ofta har en tendens att slå över åt ena eller andra hållet när det gäller språk och matematik - samtidigt som det blev helt obegripligt.

Personligen är jag språkmänniska. Jag älskar ord och bokstäver, och jag misstänker att de som faller över mot den språkliga inriktningen generellt fungerar på samma sätt av varierande grad. Jag är däremot inte alls lika förtjust i siffror (jag har till och med för vana att skriva ental med bokstäver t.ex) vilket gör matematikens språk tämligen oattraktivt.

Men... eftersom jag älskar språk så borde jag även ha en passion för matematik. Att jag inte har det lär bero på att, som Kvasir är inne på, jag inte lärt mig tala språket och, helt grundläggande, aldrig lärt mig se det som ett språk. Därav ointresset.

De som då på ett eller annat sätt upptäcker matematiken som språk på ett tämligen tidigt plan kommer självklart att se fördelarna med att "förkorta" beskrivningar (det som Miche var inne på), och eftersom personen redan hittat ett, i deras ögon, mer effektivt språk så har de inget intresse av att fördjupa sig i ordet och bokstäverna.

Jo.. så en sak till. Tack!!!!! Tack till varenda tålmodig person här i tråden som jag tvingat ned till förklaringsmodeller på dagisnivå, men som ändå envist fortsatt att försöka hitta förklaringar som min insnöade hjärna skulle begripa. Varför säger jag tack? För att, för första gången i mitt liv, har någon (läs några) lyckats göra hela begreppet "matematik" tillräckligt begripligt för mig - och dessutom lyckats väcka nyfikenhet.

Det vill inte säga lite. Så sträck lite extra på er idag, ok?

(tack också till min bättre hälft som ihärdigt har bistått er vid sidan av datorn)

Kvasir skrev:Matematikens språk kan sedan förefalla omöjligt att förstå för många, men jag tror de flesta skulle kunna förstå ganska mycket om någon hade tid att hitta ett sätt att förklara som är anpassat till den enskilda individen.

Sedan är det förstås så att de flesta i denna tråd, och i många andra sammanhang, försöker använda matematik beskriven i ord snarare än formler, med tanke på alla ni som inte är vana vid just matematikens formelspråk. Tyvärr blir sådant lätt varken hackat eller malet. Man tappar klarheten hos formelspårket, utan att det självklart blir så mycket lättare att förstå.

Kvasir, kan du kanske hjälpa Krake att frälsa mig, till att börja med? Jag gillar ju matamatikens starka inslag av strävan efter entydighet i vad man menar,
i vad man talar om.

Så jag borde vara som klippt och skuren för att ta matte till mitt hjärta.

Men just nu t.ex., har jag upptäckt att för de slags företeelser jag behöver veta sannolikheter, så är funktioner som utnyttjar multiplikation (och exponenter etc) oanvändbara. Det är addition som gäller och föga system finns i matriser över vilka saker som kan adderas ihop.

Jag saknar alltså nästan helt nytta av ens det lilla matematiska språk jag lärt mig, istället måste jag närmast addera manuellt; det finns system nog för att ett inte alltför stort datorprogram ska kunna lösa uppgiften men åtminstone klassisk matematiska duger alltså inte.

Detta trots att det som ska adderas ihop springer ur så ren matematik att jag inte ens vet om det tillhör matematiken; minsta möjliga inslag av mänskliga definitioner finns. Minsta möjliga behov av mänskliga observationer råder.

...

Som jag ser det är matte uppfunnet för att beskriva mänskligt luddiga berepp (axiom) med och rejält oanvändbar att beskriva hypotetiska, sant "entydiga saker" (hittar inga bättre ord) med.

Matte så som den är definierad utestänger alltså som jag ser det verkliga sanningssökare - som mig - från sig, och från karriär och samhällsposition.

Vad säger du, Kvasir, kan du se någon ingång till matematiskan för mig, trots vad jag just skrev?

Jonsch, ett snabbt svar. Det fina med matematiken är att ingenting hindrar dig från att själv välja axiom och göra de definitioner du behöver för ett visst syfte. När den "kända" matematiken inte räcker till så bygger man på den för att kunna beskriva/förklara det man vill. Det är så matematiken har utvecklats genom årtusendena.

Om man avviker för mycket från det vedertagna så får man förstås problemet att behöva göra om mycket från grunden. Å andra sidan är det förvånansvärt ofta det redan finns användbara verktyg inom matematiken. Det gäller bara att hitta dem och komma på att betrakta sitt problem på rätt sätt för att se detta.

tahlia skrev:De som då på ett eller annat sätt upptäcker matematiken som språk på ett tämligen tidigt plan kommer självklart att se fördelarna med att "förkorta" beskrivningar (det som Miche var inne på), och eftersom personen redan hittat ett, i deras ögon, mer effektivt språk så har de inget intresse av att fördjupa sig i ordet och bokstäverna.

Nu behöver förstås språk och matematik inte utesluta varandra. De är användbara var för sig, för olika syften. Jag vill inte läsa en matematisk uträkning i ren text, men jag vill å andra sidan inte heller läsa Dostojevskij skriven med matematiska formler (hur nu det ens skulle gå till).

Jag borde väl efter de orden känna för att sträcka på mig men... inte än, i alla fall. Eller nånsin; jag för ju inte riktigt mattens banér här.

tahlia, du har kanske fortfarande missat hur det ligger till med exemplet, eftersom

tahlia skrev:Lösningen går att förklara i korthet även med ord: "Sannolikheten förändras inte om en dörr öppnas eftersom valet redan är gjort och då mellan tre dörrar."

Det som förvirrade mig var det faktum att problemet var uppställt på sådant vis att jag fick intrycket av att öppnandet av den ena dörren tvunget skulle ha någon form av effekt. Anledningen till att jag tolkade problemet på det viset beror på att jag utgick ifrån att "räkna" måste innebära att ta reda på något jag inte redan vet.

För det spelar ju roll att en (eller 98) dörrar öppnas!! Och det är också just att dörrar öppnas och spelet ändras, som gör att jag ser det här som dålig matamatik, eller rentav som ett exempel på felet med matematik.

Det är ju öppnandet av summa 1 (eller 98 styck) dörr som gör att man ökar sina chanser från 1/ till 2/3 (eller från 1% till 99%) om man byter!

Och anledningen till att du inte kunde räkna ut det från början är att du inte visste från början att spelet skulle ändras halvvägs! Typiskt matamatiker, enligt min erfarenhet;

"Nej du har fel", brukar de säga, "så här är det. Därför att blabla."
"Men", brukar jag säga, hur skulle jag kunna veta att blabla?"
"Men herregud", svarar de då alltid, "det var väl ändå underförstått."

F´låt, är det flers webläsare än min som skriver ut där jag försökt skriva "98 styck)"?

jonsch skrev:F´låt, är det flers webläsare än min som skriver ut där jag försökt skriva "98 styck)"?

En "8" direkt följd av tecknet ")" ger den där smileyn. Därav dina problem ovan.

jonsch

(nu ska vi exprimentera lite i hur väl jag faktiskt förstått det här... hoppas det håller)

Om vi låter bli att öppna någon dörr, vad händer då? Risken att du valt fel dörr är fortfarande större än chansen att du valt rätt. Vilket är hela grunden.

Det är den kunskapen som ger dig möjlighet att förbättra dina odds om en av de felaktiga dörrarna öppnas.

Risken att du har fel när du gör ditt val är lika stor oavsett om en dörr försvinner eller inte. Själva öppnandet i sig är inte poängen. Poängen är det du redan vet och hur du kan utnyttja det till din fördel om nu en av dörrarna råkade falla bort.

(Fick jag till det?)