En tråd för de som har funderingar över lite mer avancerad matematik. Här kan man diskutera allt från hairy ball theorem till Banachrum, Galoisteori eller Juliamängder.

Min första fråga är om någon skulle vara intresserad av att lösa några statiska problem angående ratingsystem på gruppnivå. Med grupp menar jag inte en matematisk grupp utan en grupp spelare (deltagare som tilldelas rating). Jag kan illustrera med följande exempel: Två grupper har inbördes rating men dessa två grupper är isolerade från varandra dvs ingen ur grupp 1 har spelat mot någon i grupp 2 och ingen i någon av grupperna har spelat mot någon som varken är i grupp 1 eller 2 som också har spelat mot någon i den andra gruppen. Alltså graferna över grupp 1 och 2 är disjunkta. Det är nu naturligt att fråga vilken grupp som är starkast. Alltså om dessa grupper skulle välja att börja spela mot varandra, hur avgör man då deras rating relativt varandra? Det kan tilläggas att jag utvecklat ett (eller två om man är generös) eget ratingsystem som jag anser löser många av de brister som finns i exempelvis Elo och Glicko.

Admin: ändrade stavningen i rubriken

Jag tycker du saknar en väsentlig parameter och det är vilken typ av spel det rör sig om, vilket i praktiken innebär att om de spelar fotboll så kan man knappast på gruppernas individuella rankingar avgöra om det rör sig om korpfotboll i ena gruppen och proffsfotboll i den andra gruppen.

Du behöver alltså någon parameter som avgör hur man jämför grupperna med varandra.

Fast det är ju det som är själva frågan. Hur hittar man på vilken nivå en viss grupp befinner sig genom att jämföra (få) resultat med andra grupper?

Jag anser inte att det är möjligt om inte resultaten är direkt jämförbara med varandra så som matteprov.

Krake skrev:En tråd för de som har funderingar över lite mer avancerad matematik. Här kan man diskutera allt från hairy ball theorem till Banachrum, Galoisteori eller Juliamängder.

Min första fråga är om någon skulle vara intresserad av att lösa några statiska problem angående ratingsystem på gruppnivå. Med grupp menar jag inte en matematisk grupp utan en grupp spelare (deltagare som tilldelas rating). Jag kan illustrera med följande exempel: Två grupper har inbördes rating men dessa två grupper är isolerade från varandra dvs ingen ur grupp 1 har spelat mot någon i grupp 2 och ingen i någon av grupperna har spelat mot någon som varken är i grupp 1 eller 2 som också har spelat mot någon i den andra gruppen. Alltså graferna över grupp 1 och 2 är disjunkta. Det är nu naturligt att fråga vilken grupp som är starkast. Alltså om dessa grupper skulle välja att börja spela mot varandra, hur avgör man då deras rating relativt varandra? Det kan tilläggas att jag utvecklat ett (eller två om man är generös) eget ratingsystem som jag anser löser många av de brister som finns i exempelvis Elo och Glicko.

Jag är inte insatt i "Glicko rating" eller något annat känt ratingsystem, men min första tanke är
huruvida man skulle lägga relativ rating åt sidan och istället försöka sig på en absolut kvantifiering av individuella spelares "spelstyrka". Dvs man analyserar försöker finna en metrik för att beräkna hur stark en spelare är.Man kan sedan experimentellt utvärdera detta "absoluta" mått mot deras vinststatistik och se hur bra denna metrik verkar vara.
Det är kanske ett sidospår men kan kanske ge lite nya idéer för hur du ska attackera problemet?

Som Miche påpekade så är det nog inte möjligt att förutspå något spel mellan de disjunkta grupperna.
Därav min tanke om ett absolut "måttsystem".
Observera att det borde räcka med att en spelare ur grupp A spelar mot en ur grupp B för att problemet ska gå att lösa. Men om förutsättningen är att det är disjunkta grupper och ratingsystemet är uppbyggt för att göra relativa mått mellan spelare så ...

Nej det är naturligtvis inte möjligt att förutsäga resultatet men det är inte det som är frågan utan snarare hur man ska behandla ojämförbarhet. Om endast två spelare, en från vardera grupp, spelar mot varandra kommer deras resultat säga något om gruppernas relativa styrka så att om den ena spelaren är starkare trots att båda har "samma" rating så är dennes grupp också starkare och man kan då hitta en översättning från rating i den ena gruppen till rating i den andra gruppen.

Absolut rating kräver att du utvärderar själva spelet vilket ligger under kategorin spelteori. Eftersom detta i regel är svårt (tänk omöjligt) för intressanta och således relativt komplexa spel så är det inte en framkomlig väg och inget som man kan använda i allmänhet utan något som kräver en specialstudie av spelet i fråga.

En idé är att sätta något sorts nummer på jämförbarhet så att 1 betyder fullständig jämförbarhet och man kan räkna på ratingen som vanligt och 0 betyder fullständig ojämförbarhet och man saknar helt referenspunkter. Jag är dock inte säker på hur man ska definiera detta nummer eller exakt vilken roll det skulle spela.

En ruggig variant på värmeekvationen:



c är en positiv konstant. Vi söker en lösning på området t ≥ 0 och -1 ≤ x ≤ 1.

Krake skrev:En ruggig variant på värmeekvationen:

Vad är din avsikt? Har du redan lösningen och vill se om någon annan här kan lösa den, eller vill du ha lösningen för att du själv inte kan hitta den?

Jag har läst någon bok om partiella differentialekvationer för länge sen. Men jag glömmer allt efter några veckor, så jag kan inte lösa den nu, ens om man tar bort k.

Rent spontant borde man försöka hitta någon gemensam faktor mellan grupperna? och kanske inse att jämförelsen i sig också blir statistisk.. t.ex sann till 68% osv.

Sen är formler avsevärt lättare att sätta sig in i om man anger vad variabler och funktioner är tänkta att representera.

Det är relaterat till något jag jobbar med. Ett förslag är att separera variablerna och få någonting som liknar ett Sturm-Liuoville problem. Det är egentligen bara k(u) delen som ställer till det hela men man borde kunna separera lösningen i tre delar (mer eller mindre) beroende på om u är större än 1 eller mindre än 0 eller däri mellan. Jag har inte löst den än men ska göra ett allvarligt försök i morgon.

Krake skrev:Det är relaterat till något jag jobbar med.

Kan den här ekvationen ha någon koppling till verkligheten? U går ju mot minus oändligheten för x<0 och mot plus oändligheten för x>0.

Man studerar bara -1 ≤ x ≤ 1 så det har ingen betydelse. Det är en approximation av en likartad verklig situation.

Krake skrev:Man studerar bara -1 ≤ x ≤ 1 så det har ingen betydelse. Det är en approximation av en likartad verklig situation.

Jag menade att u går mot oändligheten när tiden gör det.
Förresten är lösningen bara u=x(t+1), så det var ju ett enkelt problem.

nescio skrev:

Krake skrev:Man studerar bara -1 ≤ x ≤ 1 så det har ingen betydelse. Det är en approximation av en likartad verklig situation.

Jag menade att u går mot oändligheten när tiden gör det.
Förresten är lösningen bara u=x(t+1), så det var ju ett enkelt problem.

Det är bara en partikulär lösning. Du har inte löst den homogena ekvationen.

Krake skrev:Det är bara en partikulär lösning. Du har inte löst den homogena ekvationen.

Men det behövs inte i det här fallet. Initialvärdet bestämmer ju lösningen entydigt. Initialvärdet u(x,0)=x ger andraderivatan med avseende på x värdet 0, och den förblir 0.

Är du säker på det? När jag är slarvig får jag detta:



Förvisso kvarstår problemet du påpekade men när tiden går mot oändligheten går funktionen mot xt istället och den här funktionen löser också initialvärdesproblemet (fast den tar inte med intervallets gränspunkter).

EDIT: rättade så att jag fick med pi hela vägen.

Det verkar som du har rätt. Fast du har fel tecken på summan. Är det kanske så att värdena av u i punkterna x=±1 också måste givna för t>0 för att man ska en entydig lösning?

Det har du antagligen rätt i. Jag tycker dock att det här resultatet är konstigt eftersom värmen rimligtvis borde jämna ut sig så borde lösningen inte gå mot oändligheten någonstans.

Krake skrev:

Du har glömt att det blir inre derivata av u inuti formeln.

Som sagt var jag slarvig. Det visar sig att man behöver lösa df(x)/dx=cf^2(x) för att hitta lösningar till ekvationer av typen u_t=kuu_xx. Det problemet går att lösa med hjälp av taylorserier.

Att jämföra grupper med varandra är inte helt lätt.

Är ratingen i respektive grupp framtagen genom något standardiserat förfarande, och är i så fall det använda "verktyget" vilket ratingen bygger på identiskt i båda grupperna?

Frågan är central om man har som mål att göra en jämförelse mellan olika grupper.

I mitt arbete med såväl konstruktion av som analyser av genomförda prov har jag har sysslat en hel del med skattning av latenta förmågor (ej direkt mätbara utan de får ofta mätas indirekt via olika typer av test).

Den metod jag arbetat med är IRT (Item Response Theory) där den enklaste är den enparametriga Raschmodellen. Raschmodellen finns även i en 2- respektive 3-parametrig variant.
Såväl uppgifter som är dikotoma som trikotoma, quadrotoma och så vidare kan hanteras i vissa av programmen. Andra program tillåter endast dikotoma uppgifter (rätt, fel).

Programvaror för Raschanalyser ger utifrån indata (poäng på respektive uppgift och respondent) en skattning av de olika uppgifternas svårighetsgrad (treshold-value), uppgifternas diskriminerande förmåga (förmåga att skilja hög- och lågpretsrande respondenter), man får också en skattning av varje respondents visade totala förmåga på testet.

En sak som är central vid konstruktion av tester är att man strävar mot en så hög homogenitetskoefficient som möjligt (Kronbachs Alfa är ett exempel).
I "true score modellen" anger denna koefficient ett mått på i vilken utsträckning slumpen förklarar variatio nen i resultat. Värdet ligger i intervallet [0, 1].
Ett högt mått på homogeniteten behöver inte innebära att testet är homogent - att det i stor utsträckning mäter det vi avser mäta.
En ytterlighet är att samma fråga ställs genom hela testet, vi får ett värde mycket nära 1, men ett oandvändbart test.
En hög homogenitetskoefficient är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för en "bra" test.

Ytterligare en central aspekt inom IRT är att testet ska vara endimensionellt, det ska fokusera en latent förmåga. Här finns inte alltid ett "rätt" eller "fel". Provkonstruktion är ett synnerligen intrikat arbete och kräver att man är beredd att hitta kompromisser.

Jag vet inte om dessa rader kan vara till hjälp för den inledande frågeställningen i tråden.
I alla fall vill jag lite kort berätta om den problematik som finns på mätinstrumentnivå.

Den kloka SISU-"regeln"är lika aktuell nu som förr. SISU: Skit In Skit Ut.
Stoppar man in dåliga/tvivelaktiga data och sedan drar slutsatser ur dessa utan kritisk granskning, blir det inte mycket med slutprodukten.

Om någon undrar var matematiken finns - googla på Raschmodellen och IRT så hittar ni matematiken.

Mätlära - specielt den moderna, IRT - är mycket intressant och ger en del resultat som den klassiska mätläran (CTT, Classic Test Theory) inte ger.
Ingen ersätter den andra utan de kompletterar varandrta.
Georg Rasch var en dansk statisitker som presenterade Raschmodellen under 1960-talet, vilket egentligen innebar att IRT "såg dagens ljus på allvar".

Jag kan inget om mätlära och den praktiska aspekten av denna är inte speciellt intressant för min del. Det du berättar om är dock intressant tycker jag. I mitt fall är data helt enkelt utfall av spelade matcher. Man vet vilka som spelat och när och resultatet av matchen. Jag antar att man använder samma metod för att bedöma rating i båda grupperna (nämligen min metod som till skillnad från de flesta ratingsystem inte är experimentellt framtagen utan bygger på teori, nämligen brownsk rörelse/random walk) men jag har inte fullständig koll på hur man ska göra för att jämföra grupperna. Egentligen skulle man behöva utvärdera jämförbarhet mellan alla spelare och jag har en del idéer om hur det ska gå till. Eftersom jag egentligen inte är statistiker så är det ett område jag vet lite om så jag får lita till min förmåga att hitta lösningar snarare än att minnas lösningar.

Krake skrev: Två grupper har inbördes rating men dessa två grupper är isolerade från varandra dvs ingen ur grupp 1 har spelat mot någon i grupp 2 och ingen i någon av grupperna har spelat mot någon som varken är i grupp 1 eller 2 som också har spelat mot någon i den andra gruppen. Alltså graferna över grupp 1 och 2 är disjunkta. Det är nu naturligt att fråga vilken grupp som är starkast. Alltså om dessa grupper skulle välja att börja spela mot varandra, hur avgör man då deras rating relativt varandra?

Hur skulle man kunna avgöra det om de inte spelat mot varandra? Man kan väl inte dra några slutsatser utan att ha någon information?

nescio skrev:

Krake skrev: Två grupper har inbördes rating men dessa två grupper är isolerade från varandra dvs ingen ur grupp 1 har spelat mot någon i grupp 2 och ingen i någon av grupperna har spelat mot någon som varken är i grupp 1 eller 2 som också har spelat mot någon i den andra gruppen. Alltså graferna över grupp 1 och 2 är disjunkta. Det är nu naturligt att fråga vilken grupp som är starkast. Alltså om dessa grupper skulle välja att börja spela mot varandra, hur avgör man då deras rating relativt varandra?

Hur skulle man kunna avgöra det om de inte spelat mot varandra? Man kan väl inte dra några slutsatser utan att ha någon information?

Det stämmer. De ratingsystem som används idag tar inte hänsyn till detta utan ser ratingen som absolut i den meningen. Man antar fullständig jämförbarhet ungefär som att man använde en termometer för att mäta hur varm varje spelare är. I en grupp där man spelar mycket mot varandra huller om buller så har detta ingen större betydelse så man väljer att ignorera detta då det är ett komplext problem. Svårigheten är att bygga ett system som tar hänsyn till hur nära två spelare befinner sig varandra. Om spelare 1 besegrar spelare 2 vad säger det då om spelare 3? Om man kan svara på den frågan så har man i princip löst intergrupp problemet. Jag har gått ännu längre och har idéer om hur man kan avgöra spelstilar enbart utifrån matchresultat. Alltså, man tänker sig att olika spelare har olika spelstilar och vilket ger dem fördelar mot vissa spelare och nackdelar mot andra spelare. Det hör faktiskt ihop med jämförbarhets begreppet.

PS och off topic. Trådrubriken har nu blivit ändrad men jag skrev en inte helt grammatiskt korrekt mening med avsikt från början (nämligen avancerad matte frågor) eftersom det är matematiken i tråden som ska vara på en någorlunda avancerad nivå, inte frågorna. Om frågorna är avancerade är det snarast till nackdel. Alltså skulle jag kunna ha kallat tråden "Frågor om och inom avancerad matte" men jag förenklade det vilket ledde till en inte helt (grammatiskt) korrekt titel.